Question

Для положительных действительных чисел x,y,z верно что$x + 2y + 3z =\dfrac{11}{12}$ , докажите неравенство $6(3xy + 4xz + 2yz) + 6x + 3y + 4z + 72 xyz \leqslant \dfrac{107}{18}$

Answer 1

Ответ:

Неравенство доказано.

Пошаговое объяснение:

Постараемся решать задачу с максимальным комфортом. Избавляясь от знаменателей, получаем 12x+24y+36z=11, требуется доказать, что для положительных переменных справедливо неравенство

$18^2xy+24\cdot 18xz+12\cdot 18yz+6\cdot 18x+3\cdot 18y+4\cdot 18z+72\cdot 18xyz\le 107.$

Будем не торопясь уменьшать коэффициенты, следя при этом за тем, чтобы они не стали дробными. Замена 36z=c приводит к

              $18^2xy+12xc+6yc+6\cdot 18x+3\cdot 18y+2c+36xyc\le 107.$

Замена 6x=a; 6y=b приводит к

$9ab+2ac+bc+18a+9b+2c+abc\le 107$ при условии 2a+4b+c=11.

Ну как, проще стало? Далее группируем так:

   9b(a+1)+2c(a+1)+bc(a+1)+18(a+1)≤107+18;       (a+1)(9b+2c+bc+18)≤125;

       (a+1)(b+2)(c+9)≤125 при условии 2(a+1)+4(b+2)+(c+9)=11+2+8+9.

Замена a+1=k>1; b+2=m>2; c+9=n>9 приводит к неравенству

kmn≤125 при условии 2k+4m+n=30. Стремясь к совершенству, делаем ещё одну замену: 2k=p>2; 4m=q>8; n=r>9 (на самом деле нам потребуется только положительность переменных, но в процессе решения мы можем об этом не знать). Получаем неравенство

                            pqr≤1000 при условии p+q+r=30.

Геометрический смысл задачи теперь таков: доказать, что объем прямоугольного параллелепипеда не превышает 1000, если известно, что сумма всех трёх измерений равна 30. Многие наизусть могут сказать, что максимальный объем будет у куба, т о есть когда

p=q=r=10, то есть задача может считаться решенной. Если этот факт нельзя считать известным, предлагаю самостоятельно решить задачу нахождения условного экстремума функции трех переменных, или же воспользоваться неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим трех положительных чисел:

                                      $\dfrac{p+q+r}{3}\ge\sqrt[3]{pqr}.$

Получаем: $pqr\le\left(\dfrac{p+q+r}{3}\right)^3=\left(\dfrac{30}{3}\right)^3=10^3=1000.$

Задача решена.

Ну как, получилось красивое решение?