Для положительных действительных чисел x,y,z верно что
, докажите неравенство
Ответы
Ответ:
Неравенство доказано.
Пошаговое объяснение:
Постараемся решать задачу с максимальным комфортом. Избавляясь от знаменателей, получаем 12x+24y+36z=11, требуется доказать, что для положительных переменных справедливо неравенство
Будем не торопясь уменьшать коэффициенты, следя при этом за тем, чтобы они не стали дробными. Замена 36z=c приводит к
Замена 6x=a; 6y=b приводит к
при условии 2a+4b+c=11.
Ну как, проще стало? Далее группируем так:
9b(a+1)+2c(a+1)+bc(a+1)+18(a+1)≤107+18; (a+1)(9b+2c+bc+18)≤125;
(a+1)(b+2)(c+9)≤125 при условии 2(a+1)+4(b+2)+(c+9)=11+2+8+9.
Замена a+1=k>1; b+2=m>2; c+9=n>9 приводит к неравенству
kmn≤125 при условии 2k+4m+n=30. Стремясь к совершенству, делаем ещё одну замену: 2k=p>2; 4m=q>8; n=r>9 (на самом деле нам потребуется только положительность переменных, но в процессе решения мы можем об этом не знать). Получаем неравенство
pqr≤1000 при условии p+q+r=30.
Геометрический смысл задачи теперь таков: доказать, что объем прямоугольного параллелепипеда не превышает 1000, если известно, что сумма всех трёх измерений равна 30. Многие наизусть могут сказать, что максимальный объем будет у куба, т о есть когда
p=q=r=10, то есть задача может считаться решенной. Если этот факт нельзя считать известным, предлагаю самостоятельно решить задачу нахождения условного экстремума функции трех переменных, или же воспользоваться неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим трех положительных чисел:
Получаем:
Задача решена.
Ну как, получилось красивое решение?