Question

Плачу 100 баллов!!!!

arccos(2x-1) < arccos(1/x)

Answer 1

Ответ:  ∅

Объяснение:

$\displaystyle \arccos (2x-1) < \arccos \bigg(\frac{1}{x}\bigg )$

Учтем ОДЗ :

$\left \{ \begin{array}{l} -1 \leqslant 2x -1 \leqslant 1 \\\\ - 1 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\\ \dfrac{1}{x}\geqslant - 1 \\\\ \dfrac{1}{x}\leqslant 1 \end{array} \Leftrightarrow \\\\\\\ \left \{ \begin{array}{l} x\in [0 ; 1] \\\\ \dfrac{1+x}{x}\geqslant 0 \\\\ \dfrac{1-x}{x} \leqslant 0\end{array} \right \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x\in [0 ; 1] \\\\ \dfrac{1+x}{x}\geqslant 0 \\\\ \dfrac{x-1}{x} \geqslant 0\end{array} \right$

Остается решить неравенства

$\ \dfrac{1+x}{x}\geqslant 0 \\\\ \dfrac{x-1}{x} \geqslant 0\end{array} \right$

По отдельности решим каждое :

$1) ~\dfrac{1+x}{x}\geqslant 0$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.87,-0.3) {\sf - 1} \put(.3 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(2.26 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1,0){\circle*{0.055}} \put(1.25 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(2.024,-0.3) {\sf 0}\put(2.05,0){\circle{0.055}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

$x \in ( - \infty ~ ; ~ -1 ] \cup (~0 ~ ;~ \infty ~)$

$2) ~\dfrac{x-1}{x} \geqslant 0\end{array} \right$

$\setlength{\unitlength}{23mm}\begin{picture}(1,1) \linethickness{0.2mm} \put(0.95,-0.3) {\sf 0} \put(.3 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(2.26 ,0.1){ \Large \text{ +} } \put(1,0){\circle{0.055}} \put(1.25 ,0.1){ \LARGE \text{ ---} } \put(2.024,-0.3) {\sf 1}\put(2.05,0){\circle*{0.055}} \put(1,0.3) \ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

$x \in ( - \infty ~ ; ~ 0 ) \cup [1 ~ ;~ \infty ~)$

Объединив данные интервалы  в   мы получим  :

$x \in (- \infty ~ ; ~ - 1] \cup [1~ ;~ \infty ~)$

Соответственно :

$\left \{ \begin{array}{l} x\in [0 ; 1] \\\\ \dfrac{1+x}{x}\geqslant 0 \\\\ \dfrac{x-1}{x} \geqslant 0\end{array} \right \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x\in [0 ; 1] \\\\ x \in (- \infty ~ ; ~ - 1] \cup [1~ ;~ \infty ~) \end{array} \right \Leftrightarrow \boxed{ x\in \{1\}}$

Теперь мы можем перейти к решению :

Из ОДЗ  мы выяснили , что  неравенство должно иметь единственное решение  x = 1 , проверим его  ,  подстановкой в исходное неравенство

$\displaystyle \arccos (2x-1) < \arccos \bigg(\frac{1}{x}\bigg ) \\\\ 2x -1 < \frac{1}{x} \\\\ 2\cdot 1 - 1 < \frac{1}{1} \\\\ 1 < 1 ~~ \varnothing$

При подстановке единственного корня , который удовлетворял ОДЗ   , исходное неравенство не выполнилось , а значит оно не имеет решений  

#SPJ1