• Предмет: Математика
  • Автор: kyotoegor
  • Вопрос задан 4 месяца назад

- Найдите наименьший положительный корень уравнения cos12x+cos 6x+1=0.​

Ответы

Ответ дал: Artem112
3

\cos12x+\cos 6x+1=0

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

(2\cos^26x-1)+\cos 6x+1=0

2\cos^26x+\cos 6x=0

\cos 6x(2\cos6x+1)=0

\left[\begin{array}{l} \cos 6x=0\\ 2\cos6x+1=0\end{array}\right.

Решаем первое уравнение совокупности:

\cos 6x=0

6x=\dfrac{\pi }{2} +\pi n

\boxed{x_1=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{6} ,\ n\in\mathbb{Z}}

Решаем второе уравнение совокупности:

2\cos6x+1=0

2\cos6x=-1

\cos6x=-\dfrac{1}{2}

6x=\pm\arccos\left(-\dfrac{1}{2} \right)+2\pi n

6x=\pm\dfrac{2\pi }{3} +2\pi n

x=\pm\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3}

\boxed{x_2=\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} ;\ x_3=-\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} ,\ n\in\mathbb{Z}}

Выполним отбор корней. Для каждой серии найдем наименьший положительный корень.

Для первой серии:

\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi n}{6} > 0

\dfrac{1 }{12} +\dfrac{ n}{6} > 0

\dfrac{ n}{6} > -\dfrac{1 }{12}

n > -\dfrac{1 }{2}

При n=0:

x=\dfrac{\pi }{12} +\dfrac{\pi\cdot0}{6}=\boxed{\dfrac{\pi }{12}}

Для второй серии:

\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} > 0

\dfrac{1 }{9} +\dfrac{n}{3} > 0

\dfrac{n}{3} > -\dfrac{1 }{9}

n > -\dfrac{1 }{3}

При n=0:

x=\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi\cdot0}{3}=\boxed{\dfrac{\pi }{9}}

Для третьей серии:

-\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi n}{3} > 0

-\dfrac{1 }{9} +\dfrac{n}{3} > 0

\dfrac{n}{3} > \dfrac{1 }{9}

n > \dfrac{1 }{3}

При n=1:

x=-\dfrac{\pi }{9} +\dfrac{\pi\cdot1}{3}=-\dfrac{\pi }{9}+\dfrac{\pi}{3}=\boxed{\dfrac{2\pi }{9}}

Для трех найденных корней выполняется соотношение:

\dfrac{\pi }{12} < \dfrac{\pi }{9} < \dfrac{2\pi }{9}

Значит, наименьший положительный корень равен п/12.

Ответ: п/12

Вас заинтересует