Question

Дано:tga+ctga=5 Найти:tg3a+ctg3a

Answer 1

Ответ:   $\bf tg^3a+ctg^3a=110$  .

  $\bf tga+ctga=5\ \ ,\ \ \ tg^3a+ctg^3a\ -\ ?$  

Разложим сумму кубов функций на множители и воспользуемся

тождеством   $\bf tga\cdot ctga=1$  .

$\bf tg^3a+ctg^3a=(tga+ctga)(tg^2a-tga\cdot ctga+ctg^2a)=\\\\=(tga+ctga)(tg^2a-1+ctg^2a)=5\cdot (tg^2a+ctg^2a-1)=$  

Теперь найдём сумму квадратов функций, применив формулу квадрата суммы.

$\bf (tga+ctga)^2=5^2\\\\tg^2a+2\cdot tga\cdot ctga+ctg^2a=25\\\\tg^2a+2+ctg^2a=25\\\\tg^2a+ctg^2a=25-2\\\\tg^2a+ctg^2a=23$  

Подставим в предыдущее выражение вместо суммы квадратов функций число 23 .

$\bf 5\cdot (tg^2a+ctg^2a-1)=5\cdot (23-1)=5\cdot 22=110$