Question

Найдите сумму всех целых положительных делителей числа 128•2023

Answer 1

Ответ: 1255016

Пошаговое объяснение:

Найдите сумму всех целых положительных делителей числа 128•2023

Если  разложение     числа  n   на простые множители    равно

$n = \rm 2^a \cdot 3^ b \cdot 5^c \cdot 7 ^d \cdot 11 ^e \cdot 13 ^f \ldots$

То сумма  всех делителей числа  n равна

$\sigma (n) = \dfrac{\rm (2^{a+1}-1)(3^{b+1}-1)(5^{c+1}-1) \ldots }{(2-1)(3-1)(5-1)\ldots}$

Найдем разложение  2023

$\begin{array}{r|l}2023& 7 \\ 289 & 17 \\ 17 & 17 \end{array}$

Теперь мы  можем записать полное разложение :

128•2023 = 2⁸ · 17² · 7

Находим сумму всех делителей данного числа

$\sigma (n) = \dfrac{\rm (2^{8+1}-1)(17^{2+1}-1)(7^{1+1}-1) }{(2-1)(17-1)(7-1)} =\dfrac{(512-1)(17^3-1)(49-1)}{(17-1)\cdot 6 } = \\\\\\=511\cdot 307\cdot 8 = 1255016$

Ps
Значение выражения

$\dfrac{(17^3-1)}{(17-1)}$

Можно найти воспользовавшись формулой

a³ - 1 =  (a -1)(a² + a + 1)

$\dfrac{(17^3-1)}{(17-1)}=\dfrac{(17-1)(17^2 + 17 \cdot 1 + 1)}{(17-1)}= 289 + 17 + 1 = 307$

#SPJ1