Question

Обчислить подвійний інтеграл по області Д, обмеженої вказаними лініями.

Answer 1

Ответ:

Вычислить двойной интеграл по области D .

   $\displaystyle \bf D:\{\ y^2=x\ ,\ y=x\ \}$  ,       $\displaystyle \bf y^2=x\ \ \Rightarrow \ \ y=\pm \sqrt{x}$   .    

Точки пересечения:  

$\bf y^2=y\ ,\ \ y(y-1)=0\ \ ,\ \ y_1=0\ ,\ y_2=1\ \ \Rightarrow \ \ x_1=0\ ,\ x_2=1$  .

$\displaystyle \bf \iint\limits_{D}\, dx\, dy=\int\limits^1_0\, dx\int\limits_{x}^\sqrt{x}}\, (x+y)\, dy=\int\limits^1_0\, dx\Big(\int\limits_{x}^\sqrt{x}}\, x\, dy+\int\limits_{x}^{\sqrt{x}}\, y\, dy\Big)}=\\\\\\=\int\limits^1_0\, dx\Big(\ xy\, \Big|_{x}^{\sqrt{x}}+\frac{y^2}{2}\, \Big|_{x}^{\sqrt{x}}\ \Big)=\int\limits^1_0\Big(\ x\sqrt{x}-x^2+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}\ \Big)\, dx=$  

$\displaystyle \bf =\int\limits^1_0\Big(\ x^{^{\frac{3}{2}}}-\frac{3}{2}\, x^2+\frac{x}{2}\ \Big)\, dx=\Big(\frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{3x^3}{2\cdot 3}+\frac{x^2}{2\cdot 2}\Big)\, \Big|_0^1=\frac{2}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\\\\\\=\frac{8-10+5}{20}=\frac{3}{20}$