Question

В треугольнике АВС AD-медиана угол ADB=45градусов и уголАСВ=30градусов Найдите угол АВС

Answer 1

Ответ:

Угол АВС равен 105°

Объяснение:

В треугольнике АВС AD-медиана, ∠ADB = 45° и ∠АСВ = 30°. Найдите ∠АВС.

Дано: ΔАВС;

AD - медиана;

∠ADB = 45° и ∠АСВ = 30°

Найти: ∠АВС.

Решение:

Проведем высоту ВЕ. Соединим Е и D.

1. Рассмотрим ΔADC.

∠ADB = 45°

• Сумма смежных углов равна 180°.

⇒ ∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - 45° = 135°

∠АСВ = 30°

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠DAC = 180° - 135° - 30° = 15°

2. Рассмотрим ΔЕВС - прямоугольный.

Пусть BD = DC = a (AD - медиана ΔАВС)

ED - медиана ΔЕВС.

• Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

⇒ ED = a

∠ACB = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ BE = a

⇒ ΔEBD - равносторонний.

В равностороннем треугольнике углы равны 60°.

⇒ ∠EBD = ∠BDE = ∠BED = 60°

3. Рассмотрим ΔADE.

∠DAC = 15° (п.1)

∠EDA = ∠BDE - ∠ADB = 60° - 45° = 15°

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ DE = AE = a

4. Рассмотрим ΔАВЕ - прямоугольный.

BE = a (п.2); AE = a (п.3)

⇒ ΔАВЕ - равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠АВЕ = ∠ВАЕ = 90° : 2 = 45°

5. ∠АВС = ∠АВЕ + ∠ЕВС = 45° + 60° = 105°

Угол АВС равен 105°

#SPJ1.