Ответы
Ответ:
1. D(y) = (-∞; -0,5)∪(-0,5; 0,5)∪(0,5; +∞)
2. функция четная.
3. у = 0; х = ±0,7
х = 0; у = 2.
4. x = 0,5; x = -0,5 - вертикальные асимптоты.
у = 1 - горизонтальная асимптота.
5. Функция убывает на промежутках: (-∞; -0,5), (0,5; 1].
Функция возрастает на промежутках: [1; 0,5), (0,5; +∞)
х min = 0
6. Функция выпукла на промежутках: (-∞; -0,5), (0,5; +∞)
Функция вогнута на промежутке: (-0,5; 0,5).
Объяснение:
Сделать полное исследование функции:
1. Область определения функции:
D(y) = (-∞; -0,5)∪(-0,5; 0,5)∪(0,5; +∞)
2. Четность, нечетность.
- Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.
y(-x) = y(x) ⇒ функция четная.
3. Пересечение с осями.
1) С осью Ох ⇒ у = 0
2 - 4х² = 0
(√2 - 2х)(√2 + 2х) = 0
2) С осью Оу ⇒ х = 0
у = 2
4. Асимптоты.
1) Вертикальная.
⇒ x = 0,5; x = -0,5 - вертикальные асимптоты.
2) Наклонная у = kx + b
⇒ у = 1 - горизонтальная асимптота.
5. Возрастание, убывание, точки экстремума.
Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.
y' = 0 ⇒ x = 0
x = 0; x = 0,5; x = -0,5
- Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.
Функция убывает на промежутках: (-∞; -0,5), (0,5; 1].
Функция возрастает на промежутках: [1; 0,5), (0,5; +∞)
- Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке - минимум.
⇒ х min = 0
y(0) = 2
6. Выпуклость, вогнутость.
Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.
Числитель положителен.
Рассмотрим две критические точки: х = -0,5; х = 0,5
- Если на промежутке "+" - функция вогнута, если "-" - функция выпукла.
Функция выпукла на промежутках: (-∞; -0,5), (0,5; +∞)
Функция вогнута на промежутке: (-0,5; 0,5)
Точек перегиба нет.
Строим график.
![](https://st.uroker.com/files/0cd/0cdfd8afea27c150e4ccc2391f43b261.png)