Question

Решать дифференциальные уравнения
Подробно
1) y'+4x^3y=2x
2) y'+6x^2y=3
3) y'''=(2x^2+4x)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

В первых 2ух номерах результат взятия интеграла не выражается в элементарных функциях, поэтому, если Вас не учили, как брать такие интегралы, оставляете ответ так, как он оставлен в этом решении. В противном случае, берете их.

$y'+4x^3y=2x$

$y'+4x^3y=0\\\\\dfrac{dy}{dx}=-4x^3y\\\\\int\dfrac{dy}{y}=-\int 4x^3dx\\\\y=Ce^{-x^4}$

$C'e^{-x^4}+Ce^{-x^4}\cdot(-4x^3)+4x^3Ce^{-x^4}=2x\\C'e^{-x^4}=2x\\C'=2xe^{x^4}\\C=\int 2xe^{x^4}dx+\widetilde{C}$

$y=e^{-x^4}\int 2xe^{-x^4}dx+e^{-x^4}\widetilde{C}$

$y'+6x^2y=3\\\\\dfrac{dy}{dx}=-6x^2y\\\int\dfrac{dy}{y}=-6\int x^2dx\\y=Ce^{-2x^3}\\\\C'e^{-2x^3}+Ce^{-2x^3}\cdot(-6x^2)+6x^2Ce^{-2x^3}=3\\C'=3e^{2x^3}\\C=3\int e^{2x^3}dx+\widetilde{C}$

$y=3e^{-2x^3}\int e^{2x^3}dx+e^{-2x^3}\widetilde{C}$

$y'''=2x^2+4x\\y''=\int(2x^2+4x)dx=\dfrac{2x^3}{3}+2x^2+C_1\\y'=\int (\dfrac{2x^3}{3}+2x^2+C_1)dx=\dfrac{x^4}{6}+\dfrac{2x^3}{3}+xC_1+C_2\\y=\int(\dfrac{x^4}{6}+\dfrac{2x^3}{3}+xC_1+C_2)dx=\dfrac{x^5}{30}+\dfrac{x^4}{6}+x^2\widetilde{C_1}+xC_2+C_3$

Задание выполнено!