Question

Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, у якій апофема дорівнює 12 см, а бічне ребро становить 6√5 см.​

Answer 1

Відповідь: V = 36√45 = 241,495 см³

Пояснення:

В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник. AB = BC = CA

Розглянемо прямокутний трикутник EDB (де ∠D = 90°).

Знайдемо за теоремою Піфагора катет DB.

$DB = \sqrt{EB^{2} - ED^{2} } = \sqrt{(6\sqrt{5})^{2} - 12^{2} } = \sqrt{180 - 144} = \sqrt{36} = 6$ (см)

AB = DB * 2

AB = 6 * 2 = 12 (см)

Знайдемо площу рівносторонього трикутника за формулою:

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} * 12^{2} = \frac{144\sqrt{3} }{4} = 36\sqrt{3}$ (см)

Знайдемо висоту піраміди з прямокутного трикутника EFD:

$EF = \sqrt{12^{2} - 3^{2} } = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$ (см)

Скористаємося формулою для визначення об'єму піраміди: $V=\frac{1}{3} S*h$

$V = \frac{1}{3} * 36\sqrt{3} * 3 \sqrt{15} = 36\sqrt{45} = 241,495$ (см³)