Question

Число натуральных делителей числа N равно половине числа натуральных делителей числа 12 · N. Вычислить наименьшее значение N

Answer 1

Ответ:

72.

Пошаговое объяснение:

Пусть                          $N=2^m\cdot 3^n\cdot p^k\cdot q^l\cdot\ldots\cdot r^a -$

разложение числа N на простые множители (если N не делится на 2, m=0; если N не делится на 3, n=0).

Как известно, число натуральных делителей N равно

                      $(m+1)\cdot (n+1)\cdot (k+1)\cdot (l+1)\cdot \ldots \cdot (a+1)$  

(например, число $72=2^3\cdot 3^2$ имеет (3+1)(2+1)=12 делителей:

                          $1=2^0\cdot 3^0;\ 2=2^1\cdot 3^0;\ 4=2^2\cdot 3^0;\ 8=2^3\cdot 3^0;$

                         $3=2^0\cdot 3^1;\ 6=2^1\cdot 3^1;\ 12=2^2\cdot 3^1;\ 24=2^3\cdot 3^1;$

                        $9=2^0\cdot 3^2;\ 18=2^1\cdot 3^2;\ 36=2^2\cdot 3^2;\ 72=2^3\cdot 3^2).$

Число же                    $12N=2^{m+2}\cdot 3^{n+1}\cdot p^k\cdot q^l\cdot\ldots \cdot r^a$

имеет  $(m+3)\cdot(n+2)\cdot (k+1)\cdot(l+1)\cdot\ldots\cdot (a+1)$ делителей.

По условию      $\dfrac{(m+3)\cdot(n+2)\cdot(k+1)\cdot(l+1)\cdot\ldots\cdot(a+1)}{(m+1)\cdot(n+1)\cdot(k+1)\cdot(l+1)\cdot\ldots\cdot(a+1)}=2;$

        $\dfrac{(m+3)\cdot(n+2)}{(m+1)\cdot(n+1)}=2;\ mn+2m+3n+6=2mn+2m+2n+2;$  

                             $mn-n=4;\ (m-1)\cdot n=4.$

Как видим, числа k, l, ..., a могут быть любыми; а раз нас интересует наименьшее значение  N, разумно взять их равными 0 (то есть чтобы N было бы произведением степеней только двойки и тройки).

Поскольку m и n целые и неотрицательные, возможны следующие случаи:

1) $\left \{ {{m-1=4} \atop {n=1}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{m=5} \atop {n=1}} \right. ; N=2^5\cdot 3^1=96.$

2) $\left \{ {{m-1=2} \atop {n=2}} \right. ; N=2^3\cdot 3^2=72.$

3) $\left \{ {{m-1=1} \atop {n=4}} \right.; N=2^2\cdot 3^4=324.$

Выбираем самое маленькое из них - это 72.