Question

Найдите наибольшее значение функции y y = 2 cos x + x - П/3 на отрезке [0; П/2]

Answer 1

$y=2cos x+x-frac{pi}{3}$
Ищем критические точки
$y'=-2sin x+1$
$y'=0$
$-2sin x+1=0$
$sin x=frac{1}{2}$
$x=(-1)^k*frac{pi}{6}+pi*k$
k є Z
$0 leq x leq frac{pi}{2}$
$x=frac{pi}{6}$
0 __(+)________pi/6_________(-)______pi/2
значит точка $x=frac{pi}{6}$ - точка максимума
$y(0)=2cos0+0-frac{pi}{3}=2-frac{pi}{3}$
$y(frac{pi}{6})=sqrt{3}-frac{pi}{6}$
$y(frac{pi}{2})=frac{pi}{6}$
$y_{max}=y(frac{pi}{6})=sqrt{3}-frac{pi}{6}$

Answer 2

$y=cos x+x-frac{pi}{3}, xin[0;frac{pi}{2}];\ y'=-sin x+1;\ y'=0;\ 1-sin x=0;==> sin x=1==> x=frac{pi}{2}+2pi n, nin Z\ y(0)=cos0+0-frac{pi}{3}=1-frac{pi}{3}=frac{3-pi}{3}<0;\ y(frac{pi}{2})=cosfrac{pi}{2}+frac{pi}{2}-frac{pi}{3}=0+pi(frac{1}{2}-frac{1}{3})=\ =pi(frac{3-2}{2cdot3})=pifrac{1}{6}=frac{pi}{6}>0;\ y_{max}=frac{pi}{6}$