Question

Используя деление «уголком», запишите в каноническом виде частное при делении многочлена ℎ() = х³-кх²-х-2 на двучлен ( х− 2). Найдите все корни многочлена и разложите его на множители.​

Answer 1

Ответ:

Разделить уголком многочлен на многочлен .

$\bf h(x)=x^3-kx^2-x-2\ \ ,\ \ \ g(x)=x-2\\\\{}\qquad x^3-kx^2-x-2\qquad \ \ |\ x-2\\{}\ -(x^3-2x^2)\qquad \qquad \qquad -------------\\{}\quad ----------\qquad \ \ x^2+(2-k)x+(3-2k)\\{}\qquad \ (2-k)x^2-x-2\\{}\quad -((2-k)x^2-(4-2k)x)\\{}\qquad \ -----------\\{}\qquad \qquad (3-2k)x-2\\{}\qquad \quad -((3-2k)x-6+4k)\\{}\qquad \qquad ----------\\{}\qquad \qquad \qquag \qquad \qquad \qquad \ 4-4k$    

$\bf h(x)\, :\, g(x)=\dfrac{x^3-kx^2-x-2}{x-2}=x^2+(2-k)x+3-2k)+\dfrac{4-4k}{x-2}$    

или   $\bf x^3-kx-x-2=(x^2+(2-k)x+3-2k)(x-2)+(4-4k)$

Чтобы многочлен полностью был разложен на множители , надо чтобы его свободный член был равен 0, то есть   $\bf 4-4k=0\ \ \Rightarrow \ \ k=1$  .

Если  $\bf k=1$  , то тогда многочлен будет иметь вид

$\bf x^3-x^2-x-2=(x^2+x+1)(x-2)$  

Найдём корни первого множителя.

$\bf x^2+x+1=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=1-4=-3 < 0$

Корни будут комплексными :  $\bf x_1=\dfrac{-1-i\, \sqrt3}{2}\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{-1+i\, \sqrt3}{2}$  

$\bf x^3-x^2-x-2=\Big(x-2\Big)\Big(x+\dfrac{1+i\, \sqrt3}{2}\Big)\Big(x+\dfrac{1-i\, \sqrt3}{2}\Big)\\\\\\x^3-x^2-x-2=\Big(x-2\Big)\Big(x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\, i\ \Big)\Big(x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\, i\ \Big)$