Question

22.4. Упростите sin a cos a 1) 3) tga 1 1 - cos a выражение: - 1; 1 1 + cosa 2) 4) sin a cos a ctga 1 + tga 1 + ctga ; - 1;​

Answer 1

Объяснение:

1) -sin²α

2) -cos²α

3) 2cosα/sin²α

4) tgα

Применим тригонометрические формулы:

$\displaystyle a)sin {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \rightarrow1) cos {}^{2} x = 1 - sin {}^{2} x \: ; \: \\ 2)sin {}^{2}x = 1 - cos {}^{2} x \\ b) tgx = \frac{sinx}{cosx} = \frac{1}{ctgx} \: ; \: ctgx = \frac{cosx}{sinx}$

Ещё формулу сокращенного умножения:

$c) \: (a - b)(a + b) = a {}^{2} - b {}^{2}$

______________

$\displaystyle 1) \: \frac{ sin \alpha cos \alpha }{tg \alpha } - 1 = \frac{sin \alpha cos \alpha }{ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } } - 1 = \\ \\ = cos {}^{2} \alpha - 1 = - (1 - cos {}^{2} \alpha ) = - sin {}^{2} \alpha$

$\displaystyle 2) \: \frac{sin \alpha cos \alpha }{ctg \alpha } - 1 = \frac{sin \alpha cos \alpha }{ \frac{cos \alpha }{sin \alpha } } - 1 = \\ \\ = sin {}^{2} \alpha - 1 = - (1 - sin {}^{2} \alpha ) = - cos {}^{2} \alpha$

$\displaystyle 3) \: \frac{1}{1 - cos \alpha } - \frac{1}{1 + cos \alpha } = \frac{1 + cos \alpha - (1 - cos \alpha ) }{(1 - cos \alpha )(1 + cos \alpha )} = \\ \\ = \frac{1 + cos \alpha - 1 + cos \alpha }{1 - cos {}^{2} \alpha } = \frac{2cos \alpha }{sin {}^{2} \alpha }$

$\displaystyle 4) \: \frac{1 + tg \alpha }{1 + ctg \alpha } = \frac{1 + \frac{1}{ctg \alpha } }{1 + ctg \alpha } = \frac{ \frac{ctg \alpha + 1}{ctg \alpha } }{1 + ctg \alpha } = \\ \\ = \frac{ctg \alpha + 1}{ctg \alpha } \cdot \frac{1}{1 + ctg \alpha } = \frac{1}{ctg \alpha } = tg \alpha$