Question

Точки А(3;-1) B (5;4) C(1;2) являются вершинами треугольника ABC, медианы которого пересекаются в точке М .
Найдите:

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Обозначим точки пересечения медиан со сторонами треугольника соответственно А1, В1, С1.

Т.е. имеем медианы АА1, ВВ1, СС1.

Найдем координаты А1, В1, С1.

А1= ((Xb+Xc)/2 ; (Yb+Yc)/2)    = ((5+1)/2; (4+2)/2) = (3;3)

B1= ((Xa+Xc)/2 ; (Ya+Yc)/2)    = ((3+1)/2; (-1+2)/2) = (2; 0.5)

C1= ((Xb+Xa)/2 ; (Yb+Ya)/2)    = ((5+3)/2; (4-1)/2) = (4; 1.5)

Тогда координаты векторов А1А, В1В, С1С равны

А1А = (Xa-Xa1;  Ya-Ya1) =(3-3; -1-3) =(0;-4)

B1B= (Xb-Xb1;  Yb-Yb1) =(5-2; 4-0.5) =(3; 3.5)

C1C = (Xc-Xc1;  Yc-Yc1) =(1-4; 2-1.5) =(-3; 0.5)

М делит медиану в отношении 2:1 считая с вершины треугольника.

Т.е. МА=2/3*A1A,   MB=2/3*B1B ; MC=2/3*C1C

=> MA= 2/3*A1A = (0*2/3; -4*2/3)=(0;-8/3)

MB= 2/3 B1B=(3*2/3; 3.5*2/3) =(2 ; 7/3)

MC=2/3*C1C=(4*2/3; 1.5*2/3) =(8/3; 1)$\sqrt{Xmc^2+Ymc^2} = \sqrt{64/9+1} = 8/3$

MA+MC=(0+8/3; -8/3+1) = (8/3;  -5/3)

MB-MC = (2-8; 7/3-1) = (-6; 4/3)

I MA I =$\sqrt{Xma^2+Yma^2} = \sqrt{0+64/9} = 8/3$

IMB I= $\sqrt{Xmb^2+Ymb^2} = \sqrt{4+49/9} = \sqrt{85/9}$

IMCI = $\sqrt{Xmc^2+Ymc^2} = \sqrt{64/9+1} = \sqrt{73/9}$

I MA +MC I $= \sqrt{(8/3)^2+(5/3)^2 =$$\sqrt{(64+25)/9} = \sqrt{89/9}$

I MB-MV I =  $\sqrt{6^2+(4/3)^2)} = \sqrt{36+16/9} =\sqrt{340/9}$