Question

Терміново!!!!!!!!!!!!
знайти загальний вигляд первісної для функції f(x)
$f(x) = \frac{x {}^{3} }{ \sqrt[4]{x {}^{3} } }$
​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf F(x) = \frac{4 \sqrt[4]{x {}^{13} } }{13} + C$

Объяснение:

Вспомним формулы степенной функции и арифм.квадратного корня:

$\displaystyle \sf \frac{x {}^{m} }{x {}^{n} } = x {}^{m - n} \\ \\ \sqrt[n]{x {}^{m} } = x {}^{ \frac{m}{n} }$

Тогда преобразуем функцию следующим образом:

$\displaystyle f(x) = \frac{x {}^{3} }{ \sqrt[4]{x {}^{3} } } = \frac{x {}^{3} }{x {}^{ \frac{3}{4} } } = x {}^{3 - \frac{3}{4} } = x {}^{ \frac{9}{4} }$

Найдём первообразную:

$\displaystyle F(x) =\int f(x) dx = \int x {}^{ \frac{9}{4} } dx = \frac{x {}^{ \frac{9}{4} + 1 } }{ \frac{9}{4} + 1} = \\ \\ = \frac{x {}^{ \frac{13}{4} } }{ \frac{13}{4} } = \frac{4 \sqrt[4]{x {}^{13} } }{13} + C$

____________

Также использовали формулу первообразной степенной функции:

$\displaystyle\sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} ~,~n\neq1$