Question

Решите первый столбик неравенств

Answer 1

Ответ:

1) x∈(5;+∞)

2) x∈(1/4;64)

3) x=22

Объяснение:

$1) \log_{2}(2x + 15) < \log_{2}(5x) + \log_{2}(x - 4)$

Для начала находим одз , зная , что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\left. \begin{cases} {2x + 15 > 0 } \\ 5x > 0\\ { x - 4 > 0 } \end{cases} \right. \left. \begin{cases} { x > - 7.5 } \\x > 0 \\ { x > 4 } \end{cases} \right. \Rightarrow x \in(4; + \infty)$

В правой части неравенства применим формулу суммы логарифмов с одинаковыми основаниями:

$\sf \log_{a}(b) + \log_{a}(c) = \log_{a}(bc)$

То есть:

$\log_{2}(2x + 15) < \log_{2}(5x) + \log_{2}(x - 4) \\ \\ \log_{2}(2x + 15) < \log_{2}\left (5x(x - 4) \right ) \\ \\ \log_{2}(2x + 15) = \log_{2}\left (5x(x - 4) \right )$

Равны основания логарифмов , а это значит , равны и их аргументы:

$\displaystyle 2x + 15 = 5x(x - 4) \\ \\ 5x {}^{2} - 20x - 2x - 15 = 0 \\ \\ 5x {}^{2} - 22x - 15 = 0 \\ \\ D=(-22)^2- 4\cdot 5 \cdot( - 15) = 484 + 300 = 784 \\ \\ x_{1,2}=\frac{22\pm\sqrt{784}}{2\cdot5} = \frac{22 \pm28}{10} \\ \\ \Rightarrow x_1 = 5 \: \: \: \: \: \: \: x_2 = - \frac{3}{5}$

Найдя пересечение с Одз , ответом будет $x\in(5;+\infty)$

$\displaystyle 2)\log {}^{2} _{ \frac{1}{4} }(x) + 2\log_{ \frac{1}{4} }(x) < 3$

Одз : x>0

Пусть $\log_{\frac{1}{4}}(x) = t$, тогда решим квадратное неравенство:

$\displaystyle t {}^{2} + 2t - 3 < 0 \\ \\ D=2^2- 4\cdot ( - 3) = 4 + 12 = 16 \\ \\ t_{1,2} = \frac{ - 2 \pm \sqrt{16} }{2} = \frac{ - 2 \pm4}{2} \\ \\ \Rightarrow t_1 = 1 \: \: \: \: \: \: \: t_2 = - 3$

Вернёмся к обратной замене:

$\displaystyle \log_{ \frac{1}{4} }(x) = 1 \\ \\ x_1 = \frac{1}{4} \\ \\ \log_{ \frac{1}{4} }(x) = - 3 \\ \\ x_2 = \frac{1}{4^{-3}} = 64$

Ответ: $x\in\left (\frac{1}{4};64 \right )$

$\displaystyle3) \log^2_{\frac{1}{5} }(x+3)+4\log_{\frac{1}{5} }(x+3)\leq -4$

Одз:

$x+3 > 0\\x > -3$

Заменим $\log_{\frac{1}{5} }(x+3)=t$, тогда будет иметь квадратное неравенство :

$t^2+4t+4\leq 0\\\\t^2+4t+4=0$

В левой части применим формулу сокращенного умножения (a+b)² = a²+2ab+b²:

$(t+2)^2=0\\\\t+2=0\\\\t=-2$

Вернёмся к старой замене:

$\displaystyle \log_{\frac{1}{5} }(x+3)=-2\\\\x+3=\frac{1}{5^{-2}} \\\\x+3=25\\\\x=22$

По одз подходит .

Ответ: x=22