Question

4. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на
відрізки завдовжки 15 см і 25 см. Знайдіть периметр трикутника.

Answer 1

Ответ:

Периметр треугольника равен 120 см

Объяснение:

Дано: ∠ABC = 90°, AF - биссектриса, BF = 15 см, FC = 25 см

Найти: $P_{\Delta ABC} \ - \ ?$

Решение:

Рассмотрим треугольник ΔABC.

По основному свойству отрезка:

BC = BF + FC = 15 см + 25 см = 40 см

По теореме о биссектрисе треугольника (по условию AF - биссектриса):

$\dfrac{BF}{FC} = \dfrac{AB}{AC}$

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике (по условию угол ∠ABC = 90°):

$\cos \angle BAC = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BF}{FC} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5} = \dfrac{3}{5} = 0,6$.

Значение произвольной функции от острого угла прямоугольного треугольника больше нуля по определению.

По основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^{2} \angle BAC + \cos^{2} \angle BAC = 1 \Longrightarrow \sin \angle BAC = \sqrt{1 - \cos^{2} \angle BAC} =$

$=\sqrt{1 - 0,6^{2}} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$.

По определению синуса угла прямоугольного треугольника:

$\sin \angle BAC = \dfrac{BC}{AC} \Longrightarrow AC = \dfrac{BC}{\sin \angle BAC} = \dfrac{40}{0,8} = 50$ см.

По следствию из теоремы Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} = \sqrt{50^{2} - 40^{2}} = \sqrt{2500 - 1600} = \sqrt{900} = 30$ см.

По определению периметра треугольника:

$\boldsymbol{P_{\Delta ABC}} = AB + BC + AC = 30 + 40 + 50\boldsymbol{ = 120}$ см.