Question

Решение упражнений по теме первообразных и интегралов, задачи в скриншоте

Answer 1

Ответ:

$\bf 1)\ \ f(x)=\dfrac{1}{cos^2x}\ \ ,\ \ \ M(\frac{\pi }{4}\ ;\ 0\ )$  

Первообразная функции  f(x) равна   $\bf F(x)=tgx+C$  .

Первообразная, график которой проходит через точку M :

$\bf F(\frac{\pi }{4})=tg\dfrac{\pi }{4} +C=1+C=0\ \ ,\ \ \ C=-1\\\\F(x)\Big|_{M}=tgx-1$  

$\bf \displaystyle 2)\ \ \int \frac{x^3+x^2+1}{x^2}\, dx=\int \Big(x+1+\frac{1}{x^2}\Big)\, dx=\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{x}+C$  

3)  Первообразная для функции   $\bf f(x)=|x-1|$

Будем рассматривать 3 случая.

$\displaystyle \bf x-1 > 0\ ,\ x > 1\ \ \to \ \ F(x)=\int |x-1|\, dx=\int (x-1)\, dx=\frac{(x-1)^2}{2}+C\\\\\\x-1=0\ ,\ x=1\ \ \to \ \ F(x)=\int |x-1|\, dx=\int 0\cdot dx=C\\\\\\x-1 < 0\ ,\ x < 1\ \ \to \ \ F(x)=\int (1-x)\, dx=-\frac{(1-x)^2}{2}+C=-\frac{(x-1)^2}{2}+C$

$\bf F(x)=\left\{\begin{array}{l}\bf \dfrac{(x-1)^2}{2}+C\ ,\ esli\ x > 1\ ,\\\ \ \ \ \bf C\ ,\ esli\ x=1\\\bf -\dfrac{(x-1)^2}{2}+C\end{array}\right$  

Или можно записать так:  

$\bf F(x)=\dfrac{(x-1)^2}{2}\cdot sign(x-1)+C=\dfrac{(x-1)\cdot |x-1|}{2}+C$     , где

 $\bf |x-1|=(x-1)\cdot sign(x-1),$ функция сигнум икс  определяется так :$\bf sign\, x=\left\{\begin{array}{l}\bf 1\ ,\ esli\ x > 0\ ,\\\bf 0\ ,\ \ esli\ x=0\ ,\\\bf -1\ ,\ esli\ x < 0\ .\end{array}\right$