Question

Привести уравнения кривых к каноническому виду. Найти
эксцетриситет, координаты центра (или вершины), фокусы,
уравнения директрис и асимптот (если есть). Сделать чертеж.
a) y2-6х+14y+49=0;
6) x²-4y²-2x-24y+33=0.

Answer 1

Ответ:

"Выделяем полные квадраты:

для y:  (y²+2*7y + 72) -1*72 = (y+7)²-49

Преобразуем исходное уравнение:

(y+7)² = 6x - 0

Получили уравнение параболы:

(y - y0)² = 2p(x - x0)

(y+7)² = 2*3(x - 0)

Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (0;-7)

Параметр p = -3.

Координаты фокуса:  F(-p/2; yo) = (-1,5; -7).

Уравнение директрисы: x = x0 - p/2

x = 0 - 3/2 = -3/2.

2) Выделяем полные квадраты:

для x:  (x²-2*1x + 1) -1 = (x-1)²-1

для y:  -4(y²+2*3y + 3²2) +4*3² = -4(y+3)²+36

В итоге получаем:

(x-1)²-4(y+3)² = -68

Разделим все выражение на -68

(-1/68)(x - 1)² + (1/17)(y + 3)² = 1.

Параметры кривой.

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:

C(1; -3)

и полуосями:  a = 2√17, b =√17.

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами

Определим параметр c: c² = a² + b² = 68 + 17 = 85

c = √85.

Тогда эксцентриситет будет равен:  e = c/a = √85/2√17.

Асимптотами гиперболы будут прямые:  y + 3 = (1/2)(x - 1) и

y + 3 = (-1/2)(x - 1).

Директрисами гиперболы будут прямые:   +-е/а = +-(√68/√85)."