Question

100 баллов
Решить уравнение и указать корни, принадлежащие отрезку
Желательно с решением

Answer 1

Ответ:

-8π , -9π , -49π/6 , -53π/6

Пошаговое объяснение:

а)

$\displaystyle 2\cos \left ( x+\frac{\pi }{6} \right )+\cos2x=\sqrt{3}\cos x+1$

Распишем cos(x+π/6) по формуле сложения аргументов: cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ

То есть:

$\displaystyle 2\left ( \cos x\cdot \cos \frac{\pi }{6} -\sin x \cdot \sin \frac{\pi}{6} \right )+\cos2x -\sqrt{3}\cos x -1=0\\\\2\left (\frac{\sqrt{3} }{2} \cos x - \frac{1}{2}\sin x \right )+\cos2x-\sqrt{3} \cos x -1 =0\\\\ \underline{\sqrt{3} \cos x }- \sin x+\cos 2x-\underline{\sqrt{3}\cos x} -1 =0$

Заменим cos2x = 1-2sin²x , тогда:

$\displaystyle \sin x -(1-2\sin^2x)+1=0\\\\ \sin x\underline{ -1}+2\sin ^2x\underline{+1}=0\\\\ \sin x(1+2\sin x)=0$

Получаем совокупность двух уравнений , причем , для удобства запишем корни не в общем виде:

$\left [ \begin{array}{ccc} \sin x = 0; \\\\ \displaystyle \sin x = -\frac{1}{2} ;\end{array}\right \left [ \begin{array}{ccc} x=\pi n\\\\ \displaystyle x=-\frac{\pi}{6} +2\pi k\\\\\displaystyle x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m \end{array}\right,n,k,m\in Z$

б)

Сделаем отбор корней с помощью двойного неравенства:

$\displaystyle -9\pi \leq \pi n\leq -\frac{15\pi}{2} \\\\ -9\leq n\leq -7,5$

Так как n∈Z , то нам подходит n = -9 , -8 .

Подставляем:

$\pi n = \pi \cdot (-9)=-9\pi\\\\\pi n = \pi \cdot (-8) = -8\pi$

Уже два корня на указанном отрезке мы нашли , ищем дальше.

$\displaystyle -9\pi \leq -\frac{\pi}{6}+2\pi k\leq -\frac{15\pi}{2}\\\\-9\pi +\frac{\pi }{6} \leq 2\pi k \leq -\frac{15\pi}{2}+\frac{\pi}{6} \\\\ -\frac{53\pi }{6} \cdot \frac{1}{2\pi} \leq k\leq -\frac{44\pi}{6} \cdot \frac{1}{2\pi } \\\\ -\frac{53}{12} \leq k\leq -\frac{22}{6}$

Нас устраивает k = -4 , подставим:

$\displaystyle -\frac{\pi }{6} +2\pi k = -\frac{\pi }{6}+2\pi \cdot (-4)=-\frac{\pi}{6}-8\pi = -\frac{49\pi }{6}$

Осталось немного , ищем дальше:

$\displaystyle -9\pi \leq -\frac{5\pi}{6}+2\pi m\leq -\frac{15\pi}{2}\\\\-9\pi +\frac{5\pi }{6} \leq 2\pi m \leq -\frac{15\pi}{2}+\frac{5\pi}{6} \\\\ -\frac{49\pi }{6} \cdot \frac{1}{2\pi} \leq m \leq -\frac{40\pi}{6} \cdot \frac{1}{2\pi } \\\\ -\frac{49}{12} \leq m \leq -\frac{10}{3}$

Нам подходит m = -4 , следовательно:

$\displaystyle -\frac{5\pi}{6}+2\pi m = -\frac{5\pi}{6}+2\cdot (-4)=-\frac{5\pi }{6} -8= -\frac{53\pi}{6}$