У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи ABCD дорівнює с, а бічне ребро SA утворює з площиною основи кут а. Через основу висоти піраміди паралельно грані ASD проведено площину В.
1) Побудуйте переріз піраміди SABCD площиною 3.
2) Обґрунтуйте вид перерізу.
3) Визначте периметр перерізу.
Ответы
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания ABCD равна с, а боковое ребро SA образует с плоскостью основания угол а. Через основание высоты пирамиды параллельно грани ASD проведена плоскость β. Это четырёхугольник МРКЕ.
1) Постройте сечение пирамиды SABCD плоскостью .Обоснуйте вид сечения.
2) Определите периметр сечения
Решение. В правильной 4-х пирамиде высота проходит через центр основания- точку пересечения диагоналей квадрата.
1) а)Проведем через точку О отрезок МР|| AD.
В Δ АВS через М проведем МЕ||AS.
В Δ DCS через P проведем PK||DS.
Получили сечение пирамиды плоскостью МРКЕ. Плоскость (МРК) || (ADS) по признаку параллельности 2-х плоскостей , тк две пары пересекающихся прямых параллельны по построению(*).
б)Тк точка М-середина АВ , то по т Фалеса МЕ- средняя линия Δ АВS . Тогда МЕ=1/2*AS.
Тк точка Р- середина CD , то по т Фалеса РК- средняя линия Δ DCS. Тогда РК=1/2*DS.
Учитывая , что точки Е и К –середины сторон , ЕК- средняя линия Δ ВСS ⇒ЕК||ВС||МР ⇒ МРКЕ- равнобедренная трапеция.
2) Р(МРКЕ)=МР+ЕК+2*МЕ, тк МЕ=КР, как средние линии равных треугольников.
МК=AD=c, ЕК=1/2*ВС=1/2*с.
Δ АОS- прямоугольный . Отрезок ОА- половина диагонали квадрата ,
ОА=1/2*√(с²+ с²)=1/2*с√2.
SA=OA/cos α=с√2/(2 cos α).
Р(МРКЕ)=c+c/2+ с√2/(2 cos α)=3c/2+ с√2/(2 cos α)
==================================
(*)Плоскость (МРК)|| (ADS) по признаку параллельности 2-х плоскостей : если две пересекающиеся прямые (AD,AS) одной плоскости (ADS) , параллельны двум пересекающимся прямым(МР,МЕ) другой плоскости (МРК), то эти плоскости параллельны.
