Question

Решить задачу по теории вероятностей

Answer 1

Для решения удобно использовать геометрическую вероятность.

Вероятность некоторого события будем определять как отношение площади фигуры, которая соответствует всем благоприятным событиям, к площади фигуры, которая соответствует всем возможным событиям.

Рассмотрим промежуток времени с 11:00 до 12:00.

Будем говорить, что момент времени Т - это количество минут, прошедших с 11:00, причем Т может быть не обязательно целым (например, Т=5.5 соответствует моменту времени 11 часов 5 минут 30 секунд).

Тогда, T=0 соответствует времени 11:00, T=60 - соответствует времени 12:00.

Обозначим:

х - момент времени, в который пришел Иван

у - момент времени, в который пришел Петр

Каждой паре моментов времени (х; y) поставим в соответствие точку координатной плоскости.

Фигура, которая соответствует всем возможным событиям - это квадрат с вершинами в точках (0; 0); (60; 0); (60; 60);  (60; 0). Его площадь равна:

$S=60^2=3600$

Рассмотрим событие А = {встреча состоялась}.

Для того чтобы встреча состоялась моменты времени Ивана и Петра должны отличаться не более, чем на 15:

$|x-y|\leqslant 15$

Графически такая область представляет собой полосу между прямыми:

$x-y=15;\ x-y=-15$

Или по-другому:

$y=x-15;\ y=x+15$

Площадь полосы в рамках квадрата равна площади 7 квадратов 15х15:

$S_A=7\cdot15^2=1575$

Тогда, вероятность события А:

$P(A)=\dfrac{S_A}{S}=\dfrac{1575}{3600}=\boxed{\dfrac{7}{16}}$

Рассмотрим событие B = {Петр ждал Ивана все обусловленное время и не дождался}.

Если Петр не дождался Ивана, то встреча не состоялась. Это событие противоположно событию А. Поэтому вероятность события B:

$P(B)=1-P(A)=1-\dfrac{7}{16} =\boxed{\dfrac{9}{16}}$

Рассмотрим событие C = {Ивану не пришлось ждать Петра}.

Данное событие представляет собой событие А, дополненное тем фактом, что Петр пришел раньше Ивана, то есть дополнительным условием:

$y < x$

Прямая $y=x$ разрезает центральную полосу на две равные части, а событию C соответствует нижняя образованная часть.

Таким образом, площадь фигуры уменьшится в 2 раза по сравнению с фигурой для события А:

$P(C)=\dfrac{S_C}{S} =\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{S_A}{S} =\dfrac{1}{2}\cdot P(A)= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{7}{16}=\boxed{\dfrac{7}{32}}$

Рассмотрим событие D = {Встреча состоялась после 11:30}.

Момент встречи, если она состоялась, определяется наибольшим из значений x или y.

Тогда, относительно события А дополнительное условие имеет вид:

$\max(x;\ y) > 30$

Такому дополнительному условию соответствует совокупность правой части квадрата и верхней части квадрата.

Площадь фигуры, соответствующей событию D, равна площади 4 квадратов 15х15:

$S_D=4\cdot15^2=900$

Тогда, вероятность события D:

$P(D)=\dfrac{S_D}{S}=\dfrac{900}{3600}=\boxed{\dfrac{1}{4}}$

Рассмотрим событие E = {Иван опоздал на встречу}.

Данное событие представляет собой событие В, дополненное условием о том, что Иван пришел позже Петра, то есть:

$x > y$

Площадь фигуры уменьшится в 2 раза по сравнению с фигурой для события B.

Вероятность события E:

$P(E)=\dfrac{S_E}{S} =\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{S_B}{S} =\dfrac{1}{2}\cdot P(B)= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{16}=\boxed{\dfrac{9}{32}}$

Рассмотрим событие F = {Встреча состоялась, когда до истечения часа оставалось меньше пяти минут}.

Так как встреча должна состояться позже 11:55, то относительно события А дополнительное условие имеет вид:

$\max(x;\ y) > 55$

Такому дополнительному условию соответствует совокупность полосы в правой части квадрата шириной 5 и полосы в верхней части квадрата высотой 5.

Площадь фигуры, соответствующей событию F, равна площади 6 квадратов 5х5:

$S_F=6\cdot5^2=150$

Тогда, вероятность события F:

$P(F)=\dfrac{S_F}{S}=\dfrac{150}{3600}=\boxed{\dfrac{1}{24}}$