Ответы
Для решения удобно использовать геометрическую вероятность.
Вероятность некоторого события будем определять как отношение площади фигуры, которая соответствует всем благоприятным событиям, к площади фигуры, которая соответствует всем возможным событиям.
Рассмотрим промежуток времени с 11:00 до 12:00.
Будем говорить, что момент времени Т - это количество минут, прошедших с 11:00, причем Т может быть не обязательно целым (например, Т=5.5 соответствует моменту времени 11 часов 5 минут 30 секунд).
Тогда, T=0 соответствует времени 11:00, T=60 - соответствует времени 12:00.
Обозначим:
х - момент времени, в который пришел Иван
у - момент времени, в который пришел Петр
Каждой паре моментов времени (х; y) поставим в соответствие точку координатной плоскости.
Фигура, которая соответствует всем возможным событиям - это квадрат с вершинами в точках (0; 0); (60; 0); (60; 60); (60; 0). Его площадь равна:
Рассмотрим событие А = {встреча состоялась}.
Для того чтобы встреча состоялась моменты времени Ивана и Петра должны отличаться не более, чем на 15:
Графически такая область представляет собой полосу между прямыми:
Или по-другому:
Площадь полосы в рамках квадрата равна площади 7 квадратов 15х15:
Тогда, вероятность события А:
Рассмотрим событие B = {Петр ждал Ивана все обусловленное время и не дождался}.
Если Петр не дождался Ивана, то встреча не состоялась. Это событие противоположно событию А. Поэтому вероятность события B:
Рассмотрим событие C = {Ивану не пришлось ждать Петра}.
Данное событие представляет собой событие А, дополненное тем фактом, что Петр пришел раньше Ивана, то есть дополнительным условием:
Прямая разрезает центральную полосу на две равные части, а событию C соответствует нижняя образованная часть.
Таким образом, площадь фигуры уменьшится в 2 раза по сравнению с фигурой для события А:
Рассмотрим событие D = {Встреча состоялась после 11:30}.
Момент встречи, если она состоялась, определяется наибольшим из значений x или y.
Тогда, относительно события А дополнительное условие имеет вид:
Такому дополнительному условию соответствует совокупность правой части квадрата и верхней части квадрата.
Площадь фигуры, соответствующей событию D, равна площади 4 квадратов 15х15:
Тогда, вероятность события D:
Рассмотрим событие E = {Иван опоздал на встречу}.
Данное событие представляет собой событие В, дополненное условием о том, что Иван пришел позже Петра, то есть:
Площадь фигуры уменьшится в 2 раза по сравнению с фигурой для события B.
Вероятность события E:
Рассмотрим событие F = {Встреча состоялась, когда до истечения часа оставалось меньше пяти минут}.
Так как встреча должна состояться позже 11:55, то относительно события А дополнительное условие имеет вид:
Такому дополнительному условию соответствует совокупность полосы в правой части квадрата шириной 5 и полосы в верхней части квадрата высотой 5.
Площадь фигуры, соответствующей событию F, равна площади 6 квадратов 5х5:
Тогда, вероятность события F:
![](https://st.uroker.com/files/472/47294207271cb4c2edf30d064dfa675c.png)