Question

Помогите пж, исследование функции с помощью производной и построения графика. Y=2+9x+3x²-x³

Answer 1

Ответ:

1. х ∈ R

2. функция не является четной или нечетной.

3.  у = 0 ⇒ х₁ ≈ -1,7;   х₂ ≈ 4,9;   х₃ ≈ -0,2;

х = 0  ⇒ у = 2

4. Функция непрерывна, не периодична, асимптот нет.

5. Функция возрастает на промежутке: [-1; 3]

Функция убывает на промежутках: (-∞; -1]; [3; +∞)

x min = -1;     x max = 3

6. Функция вогнута на промежутке: (-∞; 1]

Функция выпукла на промежутке: [1; +∞)

х = 1 - точка перегиба

Пошаговое объяснение:

Исследование функции с помощью производной и построения графика. у = 2 + 9x + 3x² - x³

Дана функция: у = -х³ + 3х² + 9х + 2

1. Область определения функции:

х ∈ R

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная

у(-х) = -(-х)³ +3(-х)²+9(-х)+2 = х³ + 3х² - 9х + 2

у(-х) ≠ у(х) ≠ -у(х) ⇒ функция не является четной или нечетной.

3. Пересечения с осями.

1) с осью Ох ⇒ у = 0

-х³ + 3х² + 9х + 2 = 0

х₁ ≈ -1,7;   х₂ ≈ 4,9;   х₃ ≈ -0,2

Уравнение решено с помощью онлайн калькулятора.

2) с осью Оу ⇒ х = 0

у(0) = 2

4. Функция непрерывна, не периодична, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

у' = -3x² + 6x + 9 = -3(x² - 2x - 3)

y' = 0   ⇒    -3(x² - 2x - 3) = 0

D = 4 +12 = 16;     √D = 4

$\displaystyle x_1=\frac{2+4}{2}=3;\;\;\;\;\;x_2=\frac{2-4}{2}=-1$

$---[-1]+++[3]---$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутке: [-1; 3]

Функция убывает на промежутках: (-∞; -1]; [3; +∞)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x min = -1;     x max = 3

y(-1) = 1 + 3 - 9 + 2 = -3;     y(3) = -27 + 27 +27 + 2 = 29

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

y'' = (-3x² + 6x + 9 )'= -6x + 6

6(1 - x) = 0

x = 1

$+++[1]---$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

Функция вогнута на промежутке: (-∞; 1]

Функция выпукла на промежутке: [1; +∞)

х = 1 - точка перегиба

у(1) = -1 + 3 + 9 + 2 = 13

Строим график.