Question

20 балов за задачку! помогите пожалуйста!​

Answer 1

Ответ:

1)

Первообразная:

$\boldsymbol{\boxed{F(x)= \frac{5\sqrt[5]{x^{6}} }{6} +C}}$

2)

Первообразная

$\boldsymbol{\boxed{F(x) = \dfrac{\text{tg} \ 5x}{5}+ \dfrac{1}{3x^{3}} +C}}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}$

$\boxed{\int {\frac{dx}{\cos^{2}x} } =\text{tg}\ x+C}$

По свойствам интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}$

Объяснение:

Первообразная - такая функция, что её производная равна заданной функции, то есть $f(x) =F'(x)$. Для того, чтобы найти функцию $F(x)$ проинтегрируем функцию $f(x)$.

$\displaystyle F(x) = \int {f(x)} \, dx$.

1)

$f(x) = \sqrt[5]{x}$

$\displaystyle F(x) = \int {\sqrt[5]{x} } \, dx = \int {x^{\frac{1}{5} } } \, dx = \frac{x^{\frac{1}{5} +1}}{\dfrac{1}{5}+1 } +C = \frac{5\sqrt[5]{x^{6}} }{6} +C$

2)

$f(x) = \dfrac{1}{\cos^{2} 5x} - \dfrac{1}{x^{4}}$

$\displaystyle F(x) = \int {\bigg(\dfrac{1}{\cos^{2} 5x} - \dfrac{1}{x^{4}} \bigg) } \, dx = \int {\dfrac{1}{\cos^{2} 5x} } \, dx - \int { \dfrac{1}{x^{4}} } \, dx =$

$\displaystyle =\frac{1}{5} \int {\dfrac{1}{\cos^{2} 5x} } \, d(5x) - \int {x^{-4} } \, dx = \frac{\text{tg} \ 5x}{5}+C_{1} - \frac{x^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C_{2} =$

$= \dfrac{\text{tg} \ 5x}{5}+ \dfrac{1}{3x^{3}} +C$