Question

Знайти загальний вигляд первісної для функції

Answer 1

Ответ:

Первообразная:

$\boldsymbol{\boxed{F(x)=x^{3} -3x^{2} + 4x + C}}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{\displaystyle \int x^{n} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1, x > 0}$

$\boxed{ \int dx=x +C}$

По свойствам интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}$

Объяснение:

Первообразная - такая функция, что её производная равна заданной функции, то есть $f(x) =F'(x)$. Для того, чтобы найти функцию $F(x)$ проинтегрируем функцию $f(x)$.

$\displaystyle F(x) = \int {f(x)} \, dx$.

$f(x) = 4 + 3x^{2} -6x$

$\displaystyle \int {(4 + 3x^{2} -6x) } \, dx = \int {4 } \, dx + \int { 3x^{2} } \, dx- \int {6x } \, dx=$

$\displaystyle =4 \int dx + 3\int { x^{2} } \, dx- 6\int {x } \, dx= 4x + C_{1} + x^{3} + C_{2} -3x^{2} +C_{3} =$

$= 4x +x^{3} -3x^{2} +C =x^{3} -3x^{2} + 4x + C$