1. Через точки A і B, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює 2 см, а площа утвореного перерізу – 60√2 см2. Визначте довжину відрізка AB (у см), площа розгортки бічної поверхні циліндра дорівнює 20√30 π см2.
2. У конусі з радіусом основи R, твірна нахилена до площини основи під кутом α. Через вершину конуса проведено площину під кутом φ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
З наведеної інформації площа поперечного перерізу циліндра, перпендикулярного до осі, дорівнює 60√2 см^2. Оскільки це коло, його радіус можна знайти за допомогою формули для площі кола:
r^2 = (60√2) / π
r = √(60√2 / π)
Відстань між точками А і В можна знайти за допомогою теореми Піфагора:
AB^2 = r^2 + (2 см)^2
AB = √(r^2 + (2 см)^2)
Підставляючи значення r, маємо:
AB = √((√(60√2 / π))^2 + (2 см)^2)
Площу бічної поверхні циліндра можна знайти за формулою:
Площа бічної поверхні = 2πrh
де h – висота циліндра, яка дорівнює АВ.
Площа бічної поверхні = 2πr * AB
Підставляючи значення r і AB, маємо:
Площа бічної поверхні = 2π * √(60√2 / π) * √((√(60√2 / π))^2 + (2 см)^2)
Оскільки це має дорівнювати 20√30π см^2, ми можемо прирівняти два вирази та знайти AB.
Якщо значення радіусу верхньої та нижньої основ циліндра дорівнюють R, то площа кола дорівнює πR^2. Тоді площа перерізу циліндра може бути записана як:
πR^2 + 2πR * h = 60√2
Де h - висота циліндра. За допомогою цього рівняння можна вирахувати h:
h = (60√2 / πR^2) - 2R
Значення AB може бути знайдене за допомогою теореми Піфагора:
AB^2 = R^2 + h^2
Встановлення розрахованих значень R та h у цей вираз та приведення до квадратного виразу дозволяє знайти значення AB.
AB = 2 * sqrt(30 / π) = 2 * sqrt(30/π) = 2 * sqrt(30/π) ≈ 3.82 cm
Щоб знайти площу поперечного перерізу, можна скористатися такою формулою:
A = (1/2) * R^2 * sin(φ) * sin(α)
Де R — радіус основи конуса, α — кут між віссю конуса та площиною основи, φ — кут між площиною перерізу та висотою конуса.