Question

СРОЧНО ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ!!!!!!!!!!!
Докажите неравенство!!!

16x² − 8xy+3y² >0
m²n² + m² +4n² +9>10mn​

Answer 1

Ответ:

1)  Выделим в левой части неравенства  $\bf 16x^2-8xy+3y^2 > 0$  полные квадраты .

$\bf 16x^2-8xy+3y^2=(16x^2-8xy)+3y^2=\\\\=(16x^2-2\cdot 4x\cdot y+y^2)-y^2+3y^2=\underbrace{\bf(4x-y)^2}_{\geq 0}+\underbrace{\bf 2y^2}_{\geq 0}\geq 0$  

Сумма двух неотрицательных выражений тоже неотрицательна .

Если  x  и  у  одновременно не будут равняться 0 , то выражение будет строго больше 0 .

$\bf 16x^2-8xy+3y^2 > 0$  ,  если  $\bf x\ne 0\ ,\ y\ne 0$   одновременно .

2)  Из неравенства

$\bf m^2n^2+m^2+4n^2+9 > 10mn\ \ \ \Rightarrow \ \ m^2n^2+m^2+4n^2+9-10mn > 0$  .

Выделим полые квадраты .

$\bf m^2n^2+m^2+4n^2+9-10mn=(m^2n^2+9)+(m^2+4n^2)-10mn=\\\\=(m^2n^2-2\cdot 3\cdot mn+3^2)-3^2+(m^2-2\cdot 2n+4n^2)=\\\\=\underbrace{\bf (mn-3)^2}_{\geq 0}+\underbrace{\bf (m-2n)^2}_{\geq 0}\geq 0$

Сумма двух неотрицательных выражений тоже неотрицательна .

Если  mn-3  и  m-2n  одновременно не будут равняться 0 , то выражение будет строго больше 0 .

$\bf m^2n^2+m^2+4n^2+9 > 10mn$  , если  $\bf mn-3\ne 0\ ,\ \ m-2n\ne 0$  

одновременно , то есть когда   $\bf mn\ne 3\ ,\ \ m\ne 2n$  одновременно .