Question

Найдите производные второго порядка следующих функций.
y=x^5
y=2x^3-3x^2+2x-4
y=cos^2x
y=tgx​

Answer 1

Основные формулы и правила дифференцирования:

$(x^n)'=nx^{n-1}$

$(\sin x)'=\cos x$

$(\cos x)'=-\sin x$

$(\mathrm{tg}\,x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}$

$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

$(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Производная второго порядка - это производная от производной.

$y=x^5$

$y'=(x^5)'=5x^4$

$y''=(5x^4)'=5\cdot4x^3=20x^3$

$y=2x^3-3x^2+2x-4$

$y'=(2x^3-3x^2+2x-4)'=2\cdot3x^2-3\cdot2x+2-0=6x^2-6x+2$

$y''=(6x^2-6x+2)'=6\cdot2x-6+0=12x-6$

$y=\cos^2x$

$y'=(\cos^2x)'=2\cos x\cdot(\cos x)'=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin2x$

$y''=(-\sin2x)'=-\cos2x\cdot(2x)'=-\cos2x\cdot2=-2\cos2x$

$y=\mathrm{tg}\,x$

$y'=(\mathrm{tg}\,x)'=\dfrac{1}{\cos^2x} =(\cos x)^{-2}$

$y''=((\cos x)^{-2})'=-2(\cos x)^{-3}\cdot(\cos x)'=-\dfrac{2}{\cos^3 x} \cdot(-\sin x)=\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$