Question

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Отрезок OP - медиана треугольника AOD. На отрезках AO и OP как на сторонах построен параллелограмм AOPT. Известно, что AC=16 см, BD= 12 см. Вычеслите косинус угла между диогоналеми параллелаграма AOPT. 

Answer 1

                       Решение : //////////////////////////////////////

Answer 2

Т.к. диагональ AP параллелограмма AOPT разбивает его на два равных треугольника, то

$S_{AOPT}=2*S_{AOP}$

Т.к. OP - медиана в ΔAOD, то она разбивает его на два равновеликих треугольника ⇒

$S_{AOD}=2*S_{AOP}$

Отсюда:

$S_{AOPT}=S_{AOD}$

Площадь прямоугольного треугольника найдем как полупроизведение катетов, которые являются половинами диагоналей ромба (точка O делит диагонали ромба пополам:

$AO=frac{AC}{2}=frac{16}{2}=8\OD=frac{BD}{2}=frac{12}{2}=6$

$S_{AOPT}=S_{AOD}=frac{AO*OD}{2}=frac{8*6}{2}=24$

Из прямоугольного ΔAOD найдем его гипотенузу:

$AD=sqrt{AO^2+OD^2}=sqrt{8^2+6^2}=10$

Т.к P - середина стороны AD, то AP = AD / 2 = 10 / 2 = 5

Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

$AP^2+OT^2=2(OP^2+AO^2)\5^2+OT^2=2(5^2+8^2)\OT^2=50+128-25=153\OT=3sqrt{17}$

Площадь параллелограмма равна также полупроизвведению диагоналей на синус угла между ними:

$S=frac{1}{2}*AP*OT*sin{widehat{OEP}}longrightarrow\sin{widehat{OEP}}=frac{2*S}{AP*OT}=frac{2*24}{5*3sqrt{17}}=frac{16}{5*sqrt{17}}$

По основному тригонометрическому тождеству найдем косинус угла между диагоналями по известному синуса угла:

$cos{widehat{OEP}}=sqrt{1-sin^2{widehat{OEP}}}=sqrt{1-(frac{16}{5*sqrt{17}})^2}=sqrt{1-frac{256}{25*17}}=sqrt{frac{25*17-256}{25*17}}=sqrt{frac{25*17-256}{25*17}}=frac{13}{5sqrt{17}}$