Question

Показати що вектори p,q,r утворюють базис тривимірного простору і знайти координати вектора х в цьому базисі
(номер 11)​

Answer 1

Ответ:

Координаты вектора $\boldsymbol{\overrightarrow x}$ в базисе векторов $\boldsymbol{\overrightarrow p ,\overrightarrow q, \overrightarrow r}$есть $\boxed{\boldsymbol{\overrightarrow x(-2;-1;4)}}$

Примечание:

Считаем, что в задании опечатка и вместо выражения $\overrightarrow p (1;1,4)$ имеется выражение $\overrightarrow p (1;1;4)$.

Пошаговое объяснение:

$\overrightarrow x (6;5;-14),\overrightarrow p (1;1;4),\overrightarrow q (0;-3;2),\overrightarrow r (2;1;-1)$

Если векторы не являются компланарными, то они образуют базис и их смешанное произведение не равно нулю, тогда вычислим смешанное произведение векторов $\overrightarrow p (1;1;4),\overrightarrow q (0;-3;2),\overrightarrow r (2;1;-1):$

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} =$

$= -3 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 4) - 2(1 \cdot 1 -2 \cdot 1) =$

$= -3(-1 - 8) - 2(1 -2) = -3 \cdot (-9) - 2 \cdot (-1) = 27+2 =29 \neq 0$

То есть векторы $\overrightarrow p ,\overrightarrow q, \overrightarrow r$ образуют базис.

Пусть координаты вектора $\overrightarrow x$ в базисе векторов $\overrightarrow p ,\overrightarrow q, \overrightarrow r$ есть $(\alpha ;\beta ;\gamma)$, тогда составим систему уравнений:

$\left \{\begin{array}{l} \alpha + 0\cdot\beta + 2\gamma = 6 \\ \alpha - 3\beta + \gamma = 5 \\ 4\alpha + 2\beta - \gamma = -14\end{array} \right \left \{\begin{array}{l} \alpha + 2\gamma = 6 \Longrightarrow \alpha = 6 - 2 \gamma \\ \alpha - 3\beta + \gamma = 5 \\ 4\alpha + 2\beta - \gamma = -14\end{array} \right$

$\displaystyle \left \{ {{6 - 2 \gamma - 3\beta + \gamma = 5} \atop {4(6 - 2 \gamma) + 2\beta - \gamma = -14}} \right \left \{ {{ - \gamma - 3\beta = 5-6} \atop {24 - 8 \gamma + 2\beta - \gamma = -14-24}} \right \left \{ {{ - \gamma - 3\beta = -1} \atop {\ - 9\gamma + 2\beta = -38}} \right$

$\displaystyle \left \{ {{ \gamma = 1- 3\beta} \atop {\ - 9\gamma + 2\beta = -38}} \right \Longrightarrow -9( 1- 3\beta) + 2\beta = -38$

$-9( 1- 3\beta) + 2\beta = -38$

$27\beta - 9 + 2\beta = -38$

$29\beta = -29|:29$

$\beta =-1$

$\gamma = 1- 3\beta = 1 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3= 4$

$\alpha = 6 - 2 \gamma = 6 - 2 \cdot 4 = 6 - 8 =-2$

Таким образом координаты вектора $\overrightarrow x$ в базисе векторов $\overrightarrow p ,\overrightarrow q, \overrightarrow r$ есть $\overrightarrow x(-2;-1;4)$.