Ребро куба рано 6см. Через диагональ основании под углом в 60⁰ к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь треугольника DLB.
Ответы
Ответ: 18√2 см²
Объяснение:
Точка K не может лежать на ребрах BB₁ или DD₁, так как тогда (BDK) ⊥ (ABC), что противоречит условию.
Значит точка K лежит либо на AA₁, либо на CC₁.
Случаи будут одинаковые (в силу симметричности куба), поэтому для определённости точка K будет лежать на ребре AA₁.
1. Поиск угла между плоскостями (BDK) и (ABC).
1) (BDK) ∩ (ABC) по прямой BD ⇒ BD - ребро.
2) Пусть AC ∩ BD в точке O. Тогда BD ⊥ AC (диагонали куба).
3) Рассмотрим ΔABK и ΔAKD:
AB = AD (стороны квадрата),
KA -- общая,
∠KAB = ∠KAD (углы квадратов прямые).
Следовательно, ΔABK = ΔAKD по двум катетам.
Из равенства треугольников следует, что KB = KD ⇒ ΔKBD -- равнобедренный.
4) Проведём KO. Так как BO = OD (свойство диагоналей квадрата), то KO -- медиана.
ΔKBD -- р/б, KO -- медиана, проведённая к основанию ⇒ KO -- высота, откуда KO ⊥ BD.
5) BD - ребро; AC ⊥ BD, AC ⊂ (ABC); KO ⊥ BD, KO ∈ (BDK) ⇒ угол между плоскостями (ABC) и (BDK) равен углу между KO и AC или ∠KOA:
По условию этот угол равен 45°.
2. Нахождение площади искомого треугольника.
1) BD -- диагональ квадрата ⇒ BD = AB√2 = 6√2 см (можно найти также по теореме Пифагора из ΔABD).
AC = BD, 2AO = AC (свойство диагоналей), откуда
2) Рассмотрим ΔKAO.
KA ⊥ AO (так как KA ⊥ (ABC), а значит ⊥ любой прямой в этой плоскости), то есть ΔKAO -- прямоугольный.
По теореме о сумме углов треугольника имеем:
∠KAO + ∠AKO + ∠KOA = 180°,
90° + ∠AKO + 45° = 180° ⇒ ∠AKO = 45°.
∠AKO = ∠KOA ⇒ ΔKAO -- равнобедренный ⇒ AO = KA = 3√2 см.
По теореме Пифагора найдём KO:
3) Рассмотрим ΔBDK.
Ответ: 18√2 см² Объяснение: Точка K не может лежать на - 1