Question

Найдите первые 1963 цифры после запятой в десятичной записи числа

$\large (\sqrt{26} -5 )^{1963}$

Answer 1

Ответ:

Все нули.

Объяснение:

Студенты первого курса знают эквивалентность

                          $(1+x)^a-1\sim ax$   при $x\to 0.$

Те, кто изучал формулу Тейлора, знают и более точные приближения:

              $(1+x)^a-1-ax\sim\dfrac{a(a-1)}{2}x^2,$.  и так далее.

Если a=1/2, мы получаем

                          $\sqrt{1+x}-1\sim \dfrac{x}{2};\ \sqrt{1+x}-1-\dfrac{x}{2}\sim -\dfrac{x^2}{8}.$

Иными словами, судя по всему при маленьких x  корень из 1+x  примерно равен         $1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{8},$   для меня важно, что примерно равен  $\dfrac{x}{2},$.  но меньше   $\dfrac{x}{2}.$     А на самом деле мне понадобится только  то, что меньше $\dfrac{x}{2}.$

Это всё прелюдия. Решение начинается только здесь. Всё, что было написано раньше, нужно мне только для того, чтобы объяснить, откуда возникает желание проверить справедливость неравенства

                                                 $\sqrt{1+x} \le 1+\dfrac{x}{2}.$

Докажем, что это неравенство справедливо при всех значениях

x≥ - 1 (то есть на области определения) (обратите внимание, здесь x может быть сколь угодно большой (хотя у нас в задаче он будет "маленький")).

Доказательство элементарно: возведение в квадрат обеих частей неравенства (корректное в силу неотрицательности) приводит к очевидному неравенству

                                        $1+x\le 1+x+\dfrac{x^2}{4}.$

Кстати, если x≠0, неравенство строгое,

Переходим к конкретным числам:

              $\sqrt{26}-5=\sqrt{25+1}-5=5\left(\sqrt{1+\frac{1}{25}}-1\right) < 5\cdot\dfrac{1}{50}=\dfrac{1}{10}.$

Поэтому

                          $\left(\sqrt{26}-5\right)^{1963} < \left(\dfrac{1}{10}\right)^{1963}=10^{-1963},$

откуда следует, что у этого числа первые 1963 цифры после запятой являются нулями.