⚠️ Помогите, пожалуйста. ⚠️
Найдите наибольшее значение функции у = 4 + (x - 5)e^6-x на отрезке [1; 8].
Ответы
Ответ:
Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке [1, 8], нам нужно найти максимальное значение функции на этом отрезке. Для этого мы можем использовать исчисление и найти производную функции и найти критические точки (т.е. точки, где производная равна 0 или не определена), а затем определить, соответствуют ли критические точки максимальному или минимальному значению функции.
Производная функции:
dy/dx = е^(6-х) - 1
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к 0:
е ^ (6-х) - 1 = 0
Прибавляя 1 к обеим частям, получаем:
е ^ (6-х) = 1
Беря натуральный логарифм обеих частей, получаем:
6-х = 0
Прибавив x к обеим сторонам, получим:
6 = х
Таким образом, критическая точка равна x = 6. Чтобы определить, соответствует ли эта критическая точка максимальному или минимальному значению, мы можем исследовать вторую производную функции:
d^2у/dх^2 = -е^(6-х)
Поскольку вторая производная отрицательна при всех x, отсюда следует, что критическая точка x = 6 соответствует локальному максимальному значению. Чтобы найти значение функции в этой критической точке, мы можем подставить x = 6 в исходную функцию:
у = 4 + (х - 5)е ^ (6-х)
у = 4 + (6 - 5)е ^ 0
у = 4 + 1 * 1
у = 5
Следовательно, наибольшее значение функции y = 4 + (x - 5)e^(6-x) на отрезке [1, 8] равно y = 5.