Question

Найдите наименьшее значение выражения x ^ 2 + z ^ 2 , если 10x - 24z = 13

Answer 1

$10x - 24z = 13$

Из заданного условия выразим "х":

$10x = 24z+13$

$x = 2.4z+1.3$

Подставим соотношение для "х" в рассматриваемое выражение:

$x ^ 2 + z ^ 2=(2.4z+1.3)^2+z^2=(2.4z)^2+2\cdot2.4z\cdot1.3+1.3^2+z^2=$

$=5.76z^2+6.24z+1.69+z^2=6.76z^2+6.24z+1.69$

Графиком функции $f(z)=6.76z^2+6.24z+1.69$ является парабола ветвями вверх, поэтому наименьшее значение функция принимает в вершине.

Вершина графика функции $y=ax^2+bx+c$ располагается в точке с координатами:

$x_0=-\dfrac{b}{2a} ;\ y_0=y(x_0)$

Находим абсциссу вершины (значение z, при котором принимается наименьшее значение):

$z_0=-\dfrac{6.24}{2\cdot6.76} =-\dfrac{624}{2\cdot676} =-\dfrac{12}{2\cdot13} =-\dfrac{6}{13}$

Находим ординату вершины (само наименьшее значение):

$f(z_0)=6.76\cdot\left(-\dfrac{6}{13} \right)^2+6.24\cdot\left(-\dfrac{6}{13} \right)+1.69=$

$=6.76\cdot\dfrac{36}{169} -6.24\cdot\dfrac{6}{13} +1.69=1.44-2.88+1.69=0.25$

Ответ: 0.25