дана функция у=2х³/2х²+6 a) запишите уравнение вертикальной асимптоты. b) с помощью выделения целой части, найдите уравнение наклонной асимптоты. c) используя, предел, покажите, что вы верно нашли наклонную асимптоту
Ответы
Ответ:
a) Чтобы найти уравнение вертикальной асимптоты, нам нужно найти значения x, при которых знаменатель (2x² + 6) равен нулю, а числитель (2x³) нет. Другими словами, нам нужно найти значения x, которые делают дробь неопределенной. Решив 2x² + 6 = 0 относительно x, мы получим x = ±√(-6)/2, которые являются комплексными числами и, следовательно, не соответствуют никаким действительным значениям x. Таким образом, нет значений x, которые делают дробь неопределенной, и, следовательно, нет вертикальных асимптот.
b) Для нахождения уравнения наклонной асимптоты можно воспользоваться выделением целой части.
Это включает в себя деление числителя на знаменатель и сохранение терминов наивысшей степени. В этом случае у нас 2x³ в числителе и 2x² + 6 в знаменателе. Разделив, получим:
y = 2x³ / 2x² + 6 = (2x³) / (2x²) * (1 / (1 + 6/2x²)) = x / (1 + 3/x²)
Когда x приближается к бесконечности, дробь 1 + 3/x² стремится к нулю, поэтому x доминирует над дробью, а наклонная асимптота равна y= x.
c) Чтобы показать, что найденная нами наклонная асимптота верна, мы можем использовать предел:
lim(x -> бесконечность) y = lim(x -> бесконечность) (2x³ / 2x² + 6) = lim(x -> бесконечность) x / (1 + 3/x²) = бесконечность / (1 + 0) = бесконечность , что равно x, найденная нами наклонная асимптота, так что ответ правильный.