Question

Найти интеграли
1)4^ x dx / 1 + 16 ^ x
2)sinx dx / e^cosx

Answer 1

Ответ:

1.   $\displaystyle \bf \int\limits {\frac{4^xdx}{1+16^x} }=arctg\;4^x+C$

2.   $\displaystyle \bf \int\limits {\frac{sin\;x\;dx}{e^{cos\;x}} }=\frac{1}{e^{cos\;x}} +C$

Пошаговое объяснение:

Найти интеграл:

1. $\displaystyle \bf \int\limits {\frac{4^xdx}{1+16^x} }$

$\displaystyle \bf \int\limits {\frac{4^xdx}{1+16^x} }= \int\limits {\frac{4^xdx}{1+(4^x)^2} }$

Замена переменной:

$\displaystyle \bf 4^x=t\\\\\frac{4^x}{ln4}dx=dt\\ \\4^xdx=ln4dt$

Получим интеграл:

$\displaystyle \bf \int\limits {\frac{dt}{1+t^2} }$

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limits {\frac{1}{1+x^2} } \, dx =arctgx+C }$

$\displaystyle \bf \int\limits {\frac{dt}{1+t^2} }=arctg\;t+C$

Обратная замена:

$\displaystyle \bf \int\limits {\frac{4^xdx}{1+16^x} }=arctg\;4^x+C$

2.  $\displaystyle \bf \int\limits {\frac{sin\;x\;dx}{e^{cos\;x}} }$

Замена переменной:

$\displaystyle \bf cos\;x = t\\\\sin\;x\;dx=-dt$

Получим интеграл:

$\displaystyle \bf -\int\limits {\frac{1}{e^t} } \, dt =-\int\limits {e^{-t}} \, dt$

$\boxed {\displaystyle \bf \int\limits {e^{kx-b}} \, dx =\frac{1}{k}e^{kx-b}+C }$

$\displaystyle \bf -\int\limits {e^{-t}} \, dt=-(-e^{-t})+C=e^{-t}+C$

Обратная замена:

$\displaystyle \bf \int\limits {\frac{sin\;x\;dx}{e^{cos\;x}} }=e^{-cos\;x}+C=\frac{1}{e^{cos\;x}} +C$