Question

Дано рівносторонній трикутник, сторона 6см. Точка Р рівновіддалена від сторін і вершин трикутника. Знайти ці відстані, якщо довжина перпендикуляра до площини
трикутника 9см.​

Answer 1

Ответ: √93 и 2√21

Объяснение:

Если Р равноудалена от сторон и вершин треугольника, а треугольник  равносторонний, то треугольник и Р образуют правильную пирамиду.

Вершина пирамиды проецируется в центр вписанной и описанной окружности треугольника (пусть будет АВС) - в точку О - точка пересечения медиан треугольника.

Рассмотрим медиану АА1 с точкой О на ней .  Известно , что точка пересечения медиан делит их в соотношении 2:1, считая с вершины.

То есть АО =2/3 AA1,  OA1=1/3 AA1

AA1=AB*sin60° =6*√3/2=3√3cm

=> OA1=√3 cm  AO=2√3 cm

Рассмотрим прямоугольные треугольники РОА и РОА1

РА- расстояние от Р до вершины треугольника =

РА=$\sqrt{PO^2 +AO^2}=\sqrt{9^2+4*3}=\sqrt{93} cm$

PA1 - расстояние от Р до стороны ВС =

РА1=$\sqrt{PO^2+OA1^2} =\sqrt{9^2+3}= \sqrt{84} =2\sqrt{21}$ cm