Question

Дано: ABCDA1B1C1D1куб, K середина A1B1, AA1=8
Пострить сесение через K||(AB1D1)
Найти Sсеч
​

Answer 1

Ответ:

Sсеч. = 8√3

Объяснение:

Признак параллельности плоскостей:

• если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

В плоскости (A₁B₁C₁) проведем КМ║B₁D₁.

Так как К - середина А₁В₁ и КМ║B₁D₁, то М - середина A₁D₁ по теореме Фалеса.

В плоскости (АА₁D₁) проведем МН║AD₁.

Так как М - середина A₁D₁ и МН║AD₁, то Н - середина АА₁ по теореме Фалеса.

Соединим точки К и Н.

Итак, КМ║B₁D₁, МН║AD₁, значит (КМН)║(AB₁D₁) по признаку параллельности плоскостей.

КМН - искомое сечение.

ΔАВ₁D₁ равносторонний, так как его стороны - диагонали равных квадратов.

АВ₁ = АА₁√2 = 8√2 как диагональ квадрата.

По формуле площади правильного треугольника:

$S_{AB_1D_1}=\dfrac{AB_1^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{64\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{4}=32\sqrt{3}$

КМ = 0,5 B₁D₁ как средняя линия ΔA₁B₁D₁.

МН = 0,5 AD₁ как средняя линия ΔAA₁D₁.

НК = 0,5 АВ₁ как средняя линия ΔАА₁В₁.

Значит, ΔКМН ~ ΔAB₁D₁ по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом 0,5.

• Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

$\dfrac{S_{KMH}}{S_{AB_1D_1}}=\dfrac{1}{4}$

$S_{KMH}=\dfrac{S_{AB_1D_1}}{4}=\dfrac{32\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}$