Question

100 баллов! срочно!
найти границу, используя правило Лопиталя​

Answer 1

Ответ:

$\boldsymbol{\boxed{ \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^{3} + e^{2x}} =1}}$

Примечание:

Правило Лопиталя:

Если $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty$ и функции $f(x),g(x)$ таковы, что дифференцируемы в окрестности точки $a$ и в окрестности этой точки $g'(x) \neq 0$ и существует предел , то существует $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}$.

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{g(x)} = \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}} }$, при условии, что функции $f(x),g(x)$   соответствуют всем выше перечисленным условиям и соответствующие пределы существуют.

По таблице производных:

$\boxed{(x^{n})' =nx^{n-1}}$

$\boxed{(e^{x})' = e^{x}}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x}}{x^{3} + e^{2x}} =\bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] = \lim_{x \to \infty} \frac{(e^{2x})'}{(x^{3} + e^{2x})'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^{2x}}{3x^{2} + 2e^{2x}} = \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \frac{(2e^{2x})'}{(3x^{2} + 2e^{2x})'} = \lim_{x \to \infty} \frac{4e^{2x}}{6x + 4e^{2x}} = \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] =\lim_{x \to \infty} \frac{(4e^{2x})'}{(6x + 4e^{2x})'} =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \frac{8e^{2x}}{6 + 8e^{2x}} = \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] = \lim_{x \to \infty} \frac{(8e^{2x})'}{(6 + 8e^{2x})'} = \lim_{x \to \infty} \frac{16e^{2x}}{16e^{2x}} = 1$