Question

a) Запишите уравнение вертикальной асимптоты.
b) Составьте уравнение наклонной асимптоты.

Answer 1

Ответ:

а) х = 3

b) y = x + 13

Объяснение:

Дана функция у = (х²+10х-4)/(х-3)

а) Знаменатель не должен быть равен нулю:

х - 3 ≠ 0

х ≠ 3

То есть область определения D(y) = (-∞;3)U(3;+∞).

• Прямая х=а называется вертикальной асимптотой к графику функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов , равен +∞ или -∞.

Находим эти пределы:

$\displaystyle \displaystyle\lim_{ x\rightarrow 3 - 0 } \left( \frac{x {}^{2} + 10x - 4}{x - 3} \right) = \lim_{ x \rightarrow 3 - 0 } \left( \frac{(3 - 0) {}^{2} + 10 \cdot(3 - 0) - 4}{3 - 0 - 3} \right) = \\ \\ = \frac{35}{ - 0} = - \infty$

$\displaystyle \lim_{ x \rightarrow 3 + 0 } \left( \frac{x {}^{2} + 10x - 4 }{x - 3} \right) = \lim_{x \rightarrow 3 + 0 } \left( \frac{3 {}^{2} + 10 \cdot3 - 4 }{3 + 0 - 3} \right) = \frac{35}{+0} = + \infty$

Таким образом x = 3 - уравнение вертикальной асимптоты.

b) Наклонная асимптота имеет вид у = кх + b

Она существует при условии существования пределов:

$\displaystyle \bf k = \bf \lim_{ x \rightarrow \pm \infty } \left( \frac{f(x)}{x} \right) \\ \bf b = \lim_{ x\rightarrow \pm \infty } \left( f(x) - kx\right)$

Найдём к:

$\displaystyle k = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{ \frac{x {}^{2} + 10x - 4}{x - 3} }{x} \right) = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{x {}^{2} + 10x - 4}{x(x - 3)} \right) = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{x {}^{2} + 10x - 4}{x {}^{2} - 3x } \right) = \\ \\ =\bigg[\frac{\infty}{\infty} \bigg] = \lim_{x\rightarrow \infty } \left( \frac{1 + \frac{10}{x} - \frac{4}{x {}^{2} } }{1 - \frac{3}{x} } \right) = \frac{1 + 0 - 0}{1 - 0} = 1$

Найдем b:

$\displaystyle b = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{x {}^{2} + 10x - 4 }{x - 3} - x \right) = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{x {}^{2} + 10x - 4 - x(x - 3)}{x - 3} \right) = \\ \\ = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{x {}^{2} + 10x - 4 - x {}^{2} + 3x }{x - 3} \right) = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{13x - 4}{x - 3} \right) =\bigg[\frac{\infty}{\infty} \bigg] = \\ \\ = \lim_{ x \rightarrow \infty } \left( \frac{ 13 - \frac{4}{x } }{ 1 - \frac{3}{x} } \right)= \frac{13 - 0}{1 - 0} = 13$

Следовательно , у = х + 13 - уравнение наклонной асимптоты.