Question

Помогите пожалуйста решить, исследовать функцию ​

Answer 1

Ответ:

1. D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. функция не является четной или нечетной.

3. с осью Оу не пересекается; пересекает ось Ох в точке (∛2; 0).

4.  x = 0 - вертикальная асимптота; наклонных асимптот нет.

5. Функция возрастает на промежутке: (-∞; -1];

Функция убывает на промежутках: [-1; 0); (0; +∞)

х max = -1

6. Функция вогнута на промежутке: (0; ∛2];

Функция выпукла на промежутках: (-∞; 0); [∛2; +∞)

х перегиба = ∛2.

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

$\displaystyle \bf y=\frac{2-x^3}{2x}$

1. Область значений функции:

• Знаменатель не равен нулю.

⇒ х ≠ 0

D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. Четность, нечетность.

• Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle \bf f(-x)=\frac{2-(-x)^3}{-2x}=- \frac{2+x^3}{2x}$

f(-x) ≠ f(x) ≠ -f(x)   ⇒   функция не является четной или нечетной.

3. Пересечение с осями.

1) х ≠ 0  ⇒  с осью Оу не пересекается;

2) у = 0 ⇒ х = ∛2

График пересекает ось Ох в точке (∛2; 0)

4. Асимптоты.

Вертикальная:

$\displaystyle \bf \lim_{x \to0-0} \frac{2-x^3}{2x} =- \infty \\ \lim_{x \to0+0} \frac{2-x^3}{2x} = \infty$

⇒ x = 0 - вертикальная асимптота.

Наклонная у = kx + b:

$\displaystyle \bf k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} \frac{2-x^3}{2x^2} =- \infty}$

⇒ наклонных асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, точки экстремума.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle \bf y'=\frac{1}{2}\cdot \frac{-3x^2\cdot x-(2-x^3)\cdot 1}{x^2} =\frac{-2x^3-2}{2x^2} =-\frac{x^3+1}{x^2}$

$\displaystyle \bf y'=0\;\;\;\Rightarrow \;\;x = -1$

Не забываем про х ≠ 0

См. вложение.

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутке: (-∞; -1];

Функция убывает на промежутках: [-1; 0); (0; +∞)

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ х max = -1

y(-1) = -1,5

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

$\displaystyle \bf y''=-\frac{3x^2\cdot x^2-(x^3+1)\cdot 2x}{x^4} =-\frac{x(x^3-2)}{x^4}=-\frac{x^3-2}{x^3}$

$\displaystyle \bf y''=0\;\;\;\Rightarrow \;\;x=\sqrt[3]{2};\;\;\;\;\;x\neq 0$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

См. вложение.

Функция вогнута на промежутке: (0; ∛2];

Функция выпукла на промежутках: (-∞; 0); [∛2; +∞)

• Точка, в которой вторая производная меняет знак - точка перегиба.

х перегиба = ∛2

у(∛2) = 0

Строим график.