Розв'яжіть трикутник ABC, у якому BC=10см, кут В=30 градусів, кут С=45 градусів. Довжини невідомих сторін знайдіть із точністю до сотих сантиметра
Ответы
Задача полягає у знаходженні довжин трьох сторін трикутника з відомими кутами і однією стороною.
У нас дані кути B і C, тобто ми знаємо кути біля сторін B і C. Оскільки сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів, то ми можемо знайти третій кут A, віднявши суму кутів B і C від 180 градусів:
A = 180 - B - C
Таким чином, маємо:
A = 180 - 30 - 45 = 105 градусів
Тепер можна застосувати теорему синусів, щоб знайти довжину сторони, яка не є BC. Теорема синусів говорить, що співвідношення між довжинами сторін трикутника та синусами відповідних кутів є постійним:
a/sin A = b/sin B = c/sin C
Давайте знайдемо довжину сторони AC. За теоремою синусів:
AC/sin A = BC/sin B
Дізнаємось BC з умови задачі: BC = 10 см.
Тепер знайдемо sin A, sin B:
sin A = sin 105° ≈ 0,966
sin B = sin 30° = 0,5
Підставимо ці значення в формулу:
AC/0,966 = 10/0,5
AC ≈ 19,32 см
Тепер, застосовуючи теорему косинусів, можна знайти довжину сторони AB:
AB² = AC² + BC² - 2×AC×BC×cos B
Знову замінюємо відомі значення:
AB² = 19,32² + 10² - 2×19,32×10×cos 30°
AB² ≈ 254,72
AB ≈ 15,96 см
Таким чином, довжини сторін трикутника ABC є:
AB ≈ 15,96 см
AC ≈ 19,32 см
BC = 10 см