Question

5.
Докажите, что значение выражения: 92 ^ 3 - 71 ^ 3 делится на 3

Answer 1

Смотри............

Answer 2

Мы можем заметить, что если число делится на 3, то и его разность с другим числом, которое делится на 3, тоже будет делиться на 3. Другими словами, если $a$ и $b$ делятся на 3, то $a-b$ также будет делиться на 3.

Применяя этот принцип к данному выражению, мы видим, что $92^3$ и $71^3$ оба делятся на 3, так как они являются кубами чисел, делящихся на 3. Таким образом, их разность, $(92^3-71^3)$, также должна делиться на 3.

Мы можем также использовать факт, что $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Применив это к данному выражению, мы получим:

$92^3 - 71^3 = (92-71)(92^2+92\times71+71^2)$

$92-71 = 21$, и это число явно делится на 3. Таким образом, чтобы доказать, что $92^3-71^3$ делится на 3, нам нужно показать, что $(92^2+92\times71+71^2)$ делится на 3.

Заметим, что $92^2 = (90+2)^2 = 90^2+2\times90\times2+2^2$, а $71^2 = (70+1)^2 = 70^2+2\times70\times1+1^2$. Если мы сложим эти два выражения, то получим:

$92^2+71^2 = 90^2+70^2+2\times(90\times2+70\times1)+2^2+1^2$

Заметим, что все члены, кроме $2\times(90\times2+70\times1)$, делятся на 3. Но $2\times(90\times2+70\times1) = 2\times180+2\times70 = 500$, что также делится на 3. Таким образом, мы показали, что $92^2+71^2$ делится на 3, а значит, и $(92^2+92\times71+71^2)$ делится на 3. Следовательно, $92^3-71^3$ также делится на 3.