Question

Сторони трикутника дорівнюють 25см, 29см і 36см. Знайти найменшу висоту трикутника, радіус вписаного та описаного кола.

Answer 1

Найперше, перевіримо чи задані сторони можуть утворити трикутник. Для цього використаємо нерівність трикутника, за якою сума довжин будь-яких двох сторін має бути більше третьої сторони:

25 + 29 > 36, 25 + 36 > 29, 29 + 36 > 25

Отже, задані сторони утворюють трикутник.

Найменша висота трикутника:

Найперше, знайдемо півпериметр трикутника (р), що дорівнює сумі довжин сторін, поділеній на 2:

p = (25 + 29 + 36) / 2 = 45

Потім використовуючи формулу для обчислення площі трикутника (S) за його півпериметром та радіусом вписаного кола (r), отримуємо:

S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))

де a, b та c - сторони трикутника

S = sqrt(45(45 - 25)(45 - 29)(45 - 36)) ≈ 336.13

r = S / p = 336.13 / 45 ≈ 7.47

Оскільки висота трикутника (h) є дворазовою проекцією радіуса вписаного кола на сторону, то:

h = 2r * (a + b + c) / (a + b + c)

h = 2 * 7.47 * (25 + 29 + 36) / (25 + 29 + 36) ≈ 14.94

Отже, найменша висота трикутника дорівнює близько 14,94 см.

Радіус вписаного кола:

Радіус вписаного кола (r) визначається за формулою:

r = S / p = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)) / p

де a, b та c - сторони трикутника, а S та p були обчислені раніше

r = sqrt(45(45 - 25)(45 - 29)(45 - 36)) / 45 ≈ 7.47

Отже, радіус вписаного кола дорівнює близько 7,47 см.

Радіус описаного кола можна знайти за формулою:

R = abc / 4S,

де a, b, c - довжини сторін трикутника, а S - його площа.

Підставляючи в цю формулу відповідні значення, отримуємо:

R = (25 * 29 * 36) / (4 * 180) ≈ 23.7 см.

Отже, найменша висота трикутника дорівнює 24 см, радіус вписаного кола - близько 6,3 см, а радіус описаного кола - близько 23,7 см.