Ответы
Чтобы доказать, что разность a⁷-a будет равномерно делиться на 7 при любом значении a, мы воспользуемся математической индукцией.
Сначала мы докажем базовый случай, a = 0. Разность a⁷-a равна 0⁷ - 0, что равно 0. 0 равномерно делится на 7, поэтому базовый случай верен.
Теперь докажем индуктивный шаг. Предположим, что утверждение справедливо для некоторого значения a, то есть a⁷-a равномерно делится на 7. Нужно показать, что оно справедливо и для a+1.
Имеем: (a+1)⁷ - (a+1) = a⁷ + 7a⁶ + 21a⁵ + 35a⁴ + 35a³ + 21a² + 7a + 1 - a - 1 = a⁷ - a + 7a⁶ + 21a⁵ + 35a⁴ + 35a³ + 21a² + 7a.
Поскольку разность a⁷-a равномерно делится на 7, число 7a⁶ + 21a⁵ + 35a⁴ + 35a³ + 21a² + 7a также делится на 7. Поэтому разность (a+1)⁷ - (a+1) также делится на 7.
Путем математической индукции мы доказали, что разность a⁷-a равномерно делится на 7 при любом значении a.