Question

Користуючись формулою Муавра, виразити через cosф та sinф функцію cos3ф

Используя формулу Муавра, виразить через cosф и sinф функцию cos3ф

Answer 1

Формула Муавра:

$(\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=\rho^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$

Рассмотрим комплексное число:

$z=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)$

По формуле Муавра:

$z^3=\rho^3(\cos 3\varphi+i\sin 3\varphi)$

С другой стороны, мы можем возвести комплексное число в куб непосредственно по формуле куба суммы:

$z^3=\rho^3(\cos\varphi+i\sin\varphi)^3=$

$=\rho^3(\cos^3\varphi+3\cos^2\varphi\cdot i\sin\varphi+3\cos\varphi\cdot(i\sin\varphi)^2+(i\sin\varphi)^3)=$

$=\rho^3(\cos^3\varphi+3i\cos^2\varphi\sin\varphi+3i^2\cos\varphi\sin^2\varphi+i^3\sin^3\varphi)=$

$=\rho^3(\cos^3\varphi+3i\cos^2\varphi\sin\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi-i\sin^3\varphi)=$

$=\rho^3\left((\cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi)+i(3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi)\right)$

Так как мы нашли одно и то же число двумя способами, то:

$\rho^3(\cos 3\varphi+i\sin 3\varphi)=\rho^3\left((\cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi)+i(3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi)\right)$

$\cos 3\varphi+i\sin 3\varphi=(\cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi)+i(3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi)$

Два комплексных числа равны, когда равны их действительные и равны их мнимые части. Запишем равенство для действительных частей:

$\boxed{\cos 3\varphi=\cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi}$

Получено требуемое выражение косинуса тройного угла через синус и косинус одинарного угла.