T. 90%. На рисунку SM i CM висоти трикутників SAB i CAB. Знайдіть кут між площинами SAB i CAB, якио SM = MC = SC. A. 60°.
Б.30°.
B. 90°.
Г. 45°.
Ответы
Ответ:
Б. кут між площинами SAB і CAB дорівнює 30 градусам
Объяснение: Для вирішення цієї задачі можна скористатися властивістю векторного добутку, який дає відповідь на питання про ортогональність двох векторів. Кут між площинами SAB і CAB дорівнює куту між векторами нормалей до цих площин. Так як у трикутнику ABC площини SAB і CAB проходять через відповідні сторони, нормалі до цих площин можна знайти як векторний добуток векторів AB та AC.
Далі, якщо SM = MC = SC, то точка M є центром сфери, описаної навколо трикутника ABC, тобто вектори SM, CM та SC є радіусами цієї сфери, які мають спільний початок в точці M.
Отже, можна записати:
Вектори SM, CM та SC є радіусами сфери, тому вони перпендикулярні до відповідних дотичних площин у точці M. Оскільки вектор SM є бісектрисою кута SAB, а вектор CM є бісектрисою кута CAB, то ці вектори розбивають кути між площинами SAB і CAB навпіл. Таким чином, кут між цими площинами дорівнює 1/2 кута SMC.
Так як SM = MC = SC, то вектори SM, CM та SC мають однакову довжину, тобто сфера, описана навколо трикутника ABC, є рівномірною. З цього випливає, що вектори SM, CM та SC мають спільний центр і їх можна розглядати як вектори від точки M до середин сторін AB, AC та BC відповідно. Тому вони утворюють трикутник, в якому кожний кут дорівнює 2/3 відповідного кута трикутника ABC.
Отже, кут між площинами SAB і CAB дорівнює 1/2 кута SMC, а кут SMC дорівнює 2/3 кута ABC
Оскільки на рисунку немає конкретних значень кутів, щоб знайти цей кут потрібно знати кути трикутника ABC. Однак можна зробити деякі загальні висновки.
Якщо взяти до уваги, що SM = MC = SC, то з теореми косинусів для трикутника SMC можна отримати:
SM^2 = SC^2 + MC^2 - 2 * SC * MC * cos(SMC)
Так як SM = MC = SC, то можна замінити ці змінні на R (радіус сфери, описаної навколо трикутника ABC):
R^2 = 2 * R^2 - 2 * R^2 * cos(SMC)
2 * R^2 * cos(SMC) = R^2
cos(SMC) = 1/2
З цього випливає, що кут SMC дорівнює 60 градусів. Так як кут між площинами SAB і CAB дорівнює 1/2 кута SMC, то він дорівнює 30 градусам.
Отже, відповідь: кут між площинами SAB і CAB дорівнює 30 градусам