Question

$\left \{x^{2} +y^{2} -xy=12} \atop {x^{3} +y^{3}=72 }} \right.$

Answer 1

$\begin{cases} x^2+y^2-xy=12 \\ x^3+y^3=72\end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение:

$x^3+y^3=72$

Левую часть разложим на множители:

$(x+y)(x^2-xy+y^2)=72$

Воспользуемся соотношением из первого уравнения:

$(x+y)\cdot12=72$

$x+y=6$

Выразим "у":

$y=6-x$

Подставим во второе уравнение исходной системы:

$x^3+(6-x)^3=72$

$x^3+6^3-3\cdot6^2\cdot x+3\cdot6\cdot x^2-x^3=72$

$x^3+216-108x+18x^2-x^3=72$

$18x^2-108x+216-72=0$

$18x^2-108x+144=0$

$x^2-6x+8=0$

По теореме Виета:

$\begin{cases} x_1+x_2=6\\ x_1x_2=8 \end{cases}$

Значит:

$x_1=2\Rightarrow y_1=6-x_1=6-2=4$

$x_2=4\Rightarrow y_2=6-x_2=6-4=2$

Ответ: (2; 4); (4; 2)