Question

1)lg(x)+lg(x+1)<=lg(3+1)
2)log2(x-2)+log2(x-1)>1
Помогите пожалуйста заранее спасибо

Answer 1

Объяснение:

2-Это можно сделать, воспользовавшись неравенством двоичного логарифма: log2(a*b)<log2(a)+log2(b). Применив это неравенство к выражению log2(x-2)+log2(x-1)>1, мы получаем log2((x-2)*(x-1))>1. Далее, преобразуем это неравенство так, чтобы х было слева от знака равенства: (x-2)*(x-1)>2. Отсюда мы получаем решение уравнения: x>3.

1-Для этого мы воспользуемся неравенством двоичного логарифма: lg(a*b)<=lg(a)+lg(b). Применив это неравенство к выражению lg(x)+lg(x+1)<=lg(3+1), получаем lg(x*(x+1))<=lg(4). Далее, слева от знака равенства стоит х, поэтому преобразуем неравенство так, чтобы х был слева от знака равенства: x*(x+1)<=4. Отсюда мы получаем решение уравнения: x<=2.

Answer 2

Ответ:

1. Ми можемо спростити ліву частину нерівності, використовуючи властивості логарифмів:

lg(x) + lg(x+1) = lg(x(x+1))

Підставляючи це назад в нерівність, отримуємо:

lg(x(x+1)) ≤ lg(4)

Використовуючи властивість, що lg(a) ≤ lg(b) тоді і тільки тоді, коли a ≤ b, ми можемо переписати це як:

x(x+1) ≤ 4

Розширюючи ліву частину нерівності, отримуємо:

х^2 + х ≤ 4

Віднявши 4 з обох сторін, отримуємо:

х^2 + х - 4 ≤ 0

Тепер ми можемо скористатися квадратичною формулою, щоб знайти коріння цієї нерівності:

х = (-1 ± √17)/2

Коріння приблизно -2,56 і 1,56. Нам потрібно вибрати значення x, які задовольняють початковій нерівності, а це означає, що нам потрібно вибрати x такі, щоб і x, і x+1 були позитивними. Це обмежує нас діапазоном:

-1 < х < 3/2

Тому вирішенням проблеми нерівності є:

-1 < х < (-1 + √17)/2 або 1/2 < х < 3/2

2. Ми можемо спростити ліву частину нерівності, використовуючи правило добутку логарифмів:

log2((x-2)(x-1)) > 1

Використовуючи властивість, що loga(b) > c тоді і тільки тоді, коли b > a^c, ми можемо переписати це як:

(х-2) (х-1) > 2

Розширюючи ліву частину нерівності, отримуємо:

х^2 - 3х + 2 > 2

Віднімаючи 2 з обох сторін, ми

x^2 - 3x > 0

Факторингуючи х, отримуємо:

x(x-3) > 0

Нерівність задовольняється, коли:

х < 0 (і х-3 < 0, так як х(х-3) > 0)

х > 3 (і х-3 > 0)

Тому вирішенням проблеми нерівності є:

х < 0 або х > 3

Однак нам також потрібно переконатися, що аргумент логарифма позитивний, тому нам потрібно перевірити, що:

(х-2) (х-1)

Це задовольняється, коли:

х < 1 (і х-2 < 0, х-1 < 0)

1 < х < 2 (і х-2 < 0, х-1 > 0)

х > 2 (і х-2 > 0, х-1 > 0)

Тому остаточним вирішенням проблеми нерівності є:

х < 0 або 2 < х < 3